Distribuciones Discretas

Distribuciones discretas: Binomial

Las distribución binomial parte de la distribución de Bernouilli:

La distribución de Bernouiili se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0

La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número"n" de veces el experimento de Bernouiili, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre:

0: si todos los experimentos han sido fracaso

n: si todos los experimentos han sido éxitos

Ejemplo: se tira una moneda 10 veces: ¿cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable toma el valor 10

La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente modelo:

¿Alguien entiende esta fórmula? Vamos a tratar de explicarla con un ejemplo:

Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?

" k " es el número de aciertos. En este ejemplo " k " igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6)

" n" es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10

" p " es la probabilidad de éxito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5

La fórmula quedaría:

Luego,

P (x = 6) = 0,205

Es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda.

Ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces?

" k " (número de aciertos) toma el valor 4

" n" toma el valor 8

" p " (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0,1666)

La fórmula queda:

Luego,

P (x = 4) = 0,026

Es decir, se tiene una probabilidad del 2,6% de obtener cuatro veces el números 3 al tirar un dado 8 veces.

Distribuciones discretas: Poisson

Las distribución de Poisson parte de la distribución binomial:

Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson:

Se tiene que cumplir que:

" p " < 0,10

" p * n " < 10

La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo:

Vamos a explicarla:

El número "e" es 2,71828

" l " = n * p (es decir, el número de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo)

" k " es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando

ejemplo:

La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes?

Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.

Luego,

P (x = 3) = 0,0892

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%

Ejemplo 2:

La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 recien nacidos haya 5 pelirrojos?

Luego,

P (x = 5) = 4,602

Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recien nacidos es del 4,6%.

Distribuciones discretas: Hipergeométrica

Las distribución hipergeométrica es el modelo que se aplica en experimentos del siguiente tipo:

En una urna hay bolas de dos colores (blancas y negras), ¿cuál es la probabilidad de que al sacar 2 bolas las dos sean blancas?

Son experimentos

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