Frege Fundamentos de la aritmética

El programa logicista de Frege

        Introducción:

        Como acabamos de ver, Frege construyó en su famosa Conceptografía un lenguaje simbólico capaz de mejorar el rigor en la expresión matemática y de servir además como instrumento para llevar a cabo los procesos de rigor y fundamentación de la aritmética. Con él contribuyó enormemente en el desarrollo de la lógica moderna en la que destaca la inclusión de los llamados cuantificadores («para todo» o «para algún caso de»), que permitió formalizar una enorme cantidad de nuevos argumentos. También fue el primero en distinguir la caracterización formal de las leyes lógicas de su contenido semántico.

Elaboró además una sofisticada filosofía del lenguaje que influiría sobre la filosofía analítica posterior, con distinciones fundamentales como la de «sentido» y «referencia».
Una vez fijados los principios axiomáticos de la lógica, acometió la tarea de edificar la aritmética sobre la base de aquélla en su obra Los fundamentos de la aritmética que apareció en 1884, cinco años después de la Conceptografía.  

En él buscaba ofrecer una crítica a diversas posiciones filosóficas sobre los números y la aritmética; al mismo tiempo que definir el concepto de número natural.  

En este sentido, se vio obligado a señalar lo defectuosa que estaba la visión que tenían los matemáticos y los filósofos de su época sobre la estructura básica de la aritmética. Por lo que se propone revisar las concepciones de:

- La naturaleza de las proposiciones aritméticas

- El concepto de número y la noción de uno o de unidad

        Fundamentos de la aritmética:

        1. Para ilustrar esto, ponemos en cuestión el número 1. ¿Qué es el número uno? o ¿qué significado tiene el numeral "uno"? Según Frege nadie era capaz de dar una respuesta coherente, pues el error estaba en creer que los enunciados sobre números son generalizaciones acerca de objetos no numéricos, del mismo modo que las fórmulas algebraicas pueden ser consideradas como enunciados generales sobre números. Es decir, tanto la naturaleza del número como la naturaleza del cálculo estaban mal entendidas, pues se consideraban como un tipo especial de pensamiento: lo que Frege llamaría un "pensamiento agregativo mecánico".

En este orden de cosas, podemos entrever que la tarea de Frege envolvía también consideraciones filosóficas (además de matemáticas); y que, con respecto a la filosofía, Frege señalaba la confusión que tenía ésta al no distinguir entre lógica y psicología. Por lo que se propone la siguiente tarea:

        2. La reducción al absurdo (p.75): muestra que la aritmética no puede ser considerada como una ciencia cuyos objetos son la sensación y la imaginación humanas. Aquí se distingue entre ideas y conceptos. Las ideas son las imágenes mentales y otros fenómenos anímicos de los que se ocupa la psicología, por lo que son irrelevantes para la aritmética. Los conceptos, por otro lado, son objeto de estudio para el matemático. Es un error creer, pues, que brotan y crecen en la mente individual. Los conceptos no son imágenes mentales, sino que se trata de otro tipo de entidad objetiva, y no subjetiva (exposición de la Conceptografía).

Por lo tanto, es imprescindible separar la matemática de la psicología y establecer vínculos más estrechos con la lógica. Y aquí es donde Frege busca erradicar la intuición en la aritmética.

        3. Al dar con los errores sobre el entendimiento básico de la aritmética, Frege, como ya hemos mencionado, se propone revisar dos tópicos que señalo brevemente:

-La naturaleza de las proposiciones aritméticas:

Frege resuelve la cuestión acerca de la naturaleza de las proposiciones aritméticas manteniéndose en un marco kantiano y diciendo que la aritmética no era sintética a priori (conocimiento independientemente de toda experiencia), como en Kant, sino analíticas a priori. En este sentido, las verdades de la aritmética están relacionadas con las verdades de la lógica del mismo modo en que los teoremas de Euclides lo están con sus axiomas.

-El concepto de número y la noción de uno o de unidad:

Frege se vuelve ahora hacia una consideración general del concepto de número cardinal. Podemos convenir en que cada número individual pueda ser definido en términos del número uno o de incremento en uno. Pero estos elementos tendrán que ser definidos a su vez. Y en la derivación se hará uso de proposiciones generales, que igualmente habrán de ser derivadas del concepto general de número. Entonces, ¿qué es, pues, el número? Las palabras que expresan números aparecen a menudo como adjetivos (como por ejemplo: Cuatro Lunas o Tres Caballos). Podemos contar cualquier cosa, ya sean objetos de pensamiento, entidades, cuerpos, etc. En este sentido, parece que el número pueda ser un tipo de propiedad de las cosas, aunque no sea una propiedad perceptible por los sentidos.

¿Qué ocurre, se pregunta Frege, cuando hacemos un conteo del número de objetos que componen un determinado grupo? Frege razona que al contar los objetos de un grupo, los aspectos individuales de cada objeto nos resultan irrelevantes. Precisamente al efectuar el conteo lo único que tenemos en cuenta de cada objeto es que pertenezca al grupo que estamos considerando. Así pues, lo importante es que haya algo común a todos los objetos que componen el grupo, cuyos elementos están siendo contados o enumerados. Es decir: que exista una propiedad común, en la que todos los objetos que estamos contando coincidan. Como por ejemplo: Júpiter tiene cuatro lunas.

Aquí estamos basándonos en un concepto: El concepto "ser una luna de Júpiter", no se trata de una cualidad de los objetos, pues los números se refieren a los conceptos, no a las cosas. Es por ello, que Frege considera al número como una propiedad de un concepto, o más correctamente que una proposición numérica asigna una propiedad a un concepto. Añade además que las unidades son indiscernibles o indistinguibles, pues en la proposición: "Júpiter tiene cuatro lunas", las unidades son idénticas, en el sentido de que la unidad es el concepto singular luna de Júpiter. Bajo este concepto están englobadas las cuatro lunas I, II, III, IV. La unidad con la que se relaciona I es idéntica a la unidad con la que se relaciona II. Pero cuando decimos que las unidades son distinguibles, decimos que cada una de las lunas enumeradas es distinguible de las otras. Es por ello que las unidades deban ser idénticas y a la vez distinguibles.

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