Aritmetica Binario

Una de las principales aplicaciones de la electrónica digital es el diseño de dispositivos capaces

de efectuar cálculos aritméticos, ya sea como principal objetivo (calculadoras, computadoras,

máquinas registradoras, etc.) o bien, como una subfunción que les permita realizar su cometido

principal (medidores, controladores, registradores, etc.) Por ello, y dado que los sistemas

digitales sólo pueden manejar información binaria, es necesario entender las operaciones

aritméticas fundamentales en términos del sistema de numeración binario. En este capítulo se

tratan las operaciones fundamentales en el sistema binario solamente para números enteros. Un

tratamiento más general debe contener un tratamiento de números fraccionarios, es decir, la

aritmética de punto fijo y la de punto flotante. La primera de estas dos es una extensión casi

inmediata del la aritmética entera.

@ Notación

En este capítulo cuando no se anote el subíndice de un número que sólo contiene unos y

ceros se sobreentenderá que está en binario.

2.1.- ADICIÓN O SUMA BINARIA

En forma similar a como realizamos las sumas en decimal, para realizarlas en otros sistemas es

necesario aprender de memoria algunas sumas básicas, especialmente las sumas de dígito con dígito;

en decimal éstas son 100 sumas (tablas de sumar), mientras que en binario son sólo 4, puesto que

en binario sólo hay dos dígitos:

O Tabla de sumar:

1 1 10

0 0 1

+ 0 1

F Cuando la tabla anterior se usa en una suma de cantidades de varios bits, se suma columna por

columna de LSB a MSB y si aparece el caso 1+1, se anota el 0 y se acarrea el 1 a la siguiente

columna.

Ejemplos:

1) sumar 101101 + 10101, es decir, 4510 + 2110

Acarreos: 1 1 1 1 Acarreos: 1

1 0 1 1 0 1 2910

+ 1 0 1 0 1 + 710

1 0 0 1 0 0 3610

2) sumar 11101 + 111, es decir, 2910 + 710

Capítulo 2 Aritmética Binaria Entera

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Acarreos: 1 1 1 1 Acarreos: 1

1 1 1 0 1 2910

+ 0 0 1 1 1 + 710

1 0 0 1 0 0 3610 q

2.2.- SUSTRACCIÓN O RESTA BINARIA

En forma similar a la suma, es conveniente memorizar la siguiente

O Tabla de restar:

1 1 0

0 0 -1

- 0 1

F Cuando la tabla anterior se usa en la resta de cantidades de varios bits, se resta columna por

columna de LSB a MSB y si aparece el caso de restar 0 - 1 se interpreta como si fuera 10 - 1,

resultando un 1 y un acarreo negativo, o préstamo de 1 tomado de la siguiente columna.

Ejemplos:

1) restar 101101 - 10101, es decir, 4510 - 2110

Préstamos: -1

1 0 1 1 0 1 4510

+ 1 0 1 0 1 -2110

0 1 1 0 0 0 2410

2) restar 11101 - 111, es decir, 2910 - 710

Préstamos: -1 -1

1 1 1 0 1 2910

+ 0 0 1 1 1 + 710

1 0 1 1 0 2210 q

2.3.- REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS NEGATIVOS.

En la construcción de dispositivos digitales que realicen operaciones de resta se puede obtener un

considerable ahorro si esta operación es realizada mediante los mismos dispositivos que realizan la

suma, de esta manera no es necesario construir dos tipos de dispositivos, y el problema se convierte

más bien en cómo manejar adecuadamente los números negativos para realizar restas usando sumas.

2.3.1.- MAGNITUD SIGNADA

O El método de representación de números negativos que consiste en anteponer un signo “-” al valor

absoluto de la cantidad se le llama magnitud signada y es el método tradicionalmente usado en

decimal, ya que está pensado en su manipulación por humanos.

Ejemplos: -510, -10112, .5EH, ... etc.

Capítulo 2 Aritmética Binaria Entera

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F La principal desventaja del método de magnitud signada es que requiere de dos métodos

diferentes, uno para la suma y otro para la resta.

2.3.2.- SISTEMA DE NUMERACIÓN DE COMPLEMENTO A LA BASE (COMPLEMENTO A DOS)

Un método de representación de cantidades negativas que permite realizar restas mediante sumas

consiste en representar los números negativos por su complemento, es decir, por lo que les falta

para cierta cantidad tomada como base.

O En el sistema de numeración de complemento a la base r, los números negativos de n dígitos se

representan por la cantidad que les falta para completar rn. Es decir, en este sistema, la cantidad -Nr

se representa por su complemento, es decir, como rn-N y en ocasiones se denota [N]r.

Ejemplos:

1) Caso decimal (complemento a 10) para 2 dígitos (r=10, n=2)

-1510 = 102 - 15 = [85]10

De esta manera, una resta como 45 - 15, se puede realizar mediante la suma 45 + 85 =(1)30,

despreciando el acarreo indicado entre paréntesis, ya que sólo se están usando 2 dígitos.

2) Caso binario (complemento a 2) para 4 dígitos (r=2, n=4)

-01012 = (10000 - 0101)2 = [1011]2

De esta manera, una resta como 1010, se puede realizar mediante la suma 1010

- 0101 + 1011

0101 (1)0101

despreciando el acarreo indicado entre paréntesis, ya que sólo se están usando 4 dígitos. q

Observación: En el sistema de complemento a dos los número positivos se escriben sin ningún

cambio.

O Bit de signo (S)

En el sistema de numeración de complemento a dos el MSB se denomina bit de signo y se usa para

indicar el signo del número representado, de acuerdo a la siguiente convención:

S = 0 El número es positivo y el resto de los bits indica su magnitud directamente.

S = 1 El número es negativo y está en la forma complementada

Ejemplo: Expresar +5 y -5 en una palabra de 8 bits en el sistema de complemento a 2.

+ 5 es positivo y se expresará directamente pro su magnitud en binario como 0000101

- 5 es negativo y estará expresado en la forma de complemento a 2 como:

+ 5 = 0 0 0 0 0 1 0 1

Complemento a 2: 1 1 1 1 1 0 1 1 = - 510

Obsérvese que de acuerdo a esta convención del sistema de complemento a dos, al aplicar el

complemento a 2 a un número binario, equivale a cambiarle el signo (multiplicar por -1) q

Ejemplo: 11010112 es un número de 7 bits, incluyendo el bit signo. ¿Cuál es su equivalente decimal

?

Capítulo 2 Aritmética Binaria Entera

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Como el bit signo es = 1, el número es negativo y se encuentra en su forma complementada.

1 1 0 1 0 1 1 : número negativo

0 0 1 0 1 0 1 : valor absoluto (complemento a dos del número)

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