Aritmetica

1.2.-La Media Aritmética ():

La medida de tendencia central más ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como la media y denotada por  (léase como "X barra").

• La media aritmética para datos no agrupados

Si se dispone de un conjunto de n números, tales como X1, X2, X3,…,Xn, la media aritmética de este conjunto de datos se define como "la suma de los valores de los ni números , divididos entre n", lo que usando los símbolos explicados anteriormente , puede escribirse como:

Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio de las edades, se tiene que:

• La media aritmética para datos agrupados

Si los datos se presentan en una tabla de distribuciónde frecuencias, no es posible conocer los valores individuales de cada una de las observaciones, pero si las categorías en las cuales se hallan. Para poder calcular la media, se supondrá que dentro de cada categoría, las observaciones se distribuyen uniformemente dentro alrededor del punto medio de la clase, por lo tanto puede considerarse que todas las observaciones dentro de la clase ocurren en el punto medio, por lo expuesto la media aritmética para datos agrupados puede definirse de la siguiente manera:

Si en una tabla de distribución de frecuencia, con r clases, los puntos medio son: X1, X2, X3,…,Xn; y las respectivas frecuencias son f1, f2, f3, … , fn, la media aritmética se calcula de la siguiente manera:

donde: N = número total de observaciones, por tanto Σfi puede simplificarse y escribirse como N ( N= Σfi )

Ejemplo:

Si se toman los datos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribución de frecuencia de las cuentas por cobrar de Cabrera’s y Asociados que fueron los siguientes:

Clases 1 2 3 4 5 6

Puntos Medios (Xi) 14,628 29,043 43.458 57,873 72.288 86.703

Frecuencias (fi) 10 4 5 3 3 5

Al calcular la cuenta promedio por cobrar (media aritmética) de estos datos se tiene lo siguiente:

• Media aritmética ponderada

Por otro lado, si al promediar los datos estos tienen diferentes pesos, entonces estamos ante un caso de media aritmética ponderada, que puede definirse de la siguiente manera

Definición:

Sea dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X2; X3; … ; Xn; y un conjunto de valores p1, p2; p3; … ; pn; asociado con cada observación Xi respectivamente, que reciben el nombre de factores de ponderación, entonces la media ponderada se calcula como:

Ejemplo:

En el curso de estadística del Prof. Cabrera la nota semestral se calcula como una media ponderada. Por cuanto que el promedio de laboratorios representa el 30% de la nota semestral. El promedio de ejercicios parciales representa el 30% y el examen semestral el restante 40%.

Si obtiene en este curso los siguientes promedios al final del semestre: laboratorios 90 pts. Parciales 75% pts. Y en el examen semestral 70 pts.; el promedio semestral se calcula de la siguiente forma.:

La nota semestral de 77.5 corresponde a "C".

• Propiedades de la media aritmética

• Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa y de intervalos

• .Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.

• Una serie de datos solo tiene una media.

• Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones

• Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero.

• Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.

• Desventajas de la media aritmética

• Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.

• No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.

1.3.- La Mediana (X0.5):

Cuando una serie de datos contiene uno o dos valores muy grandes o muy pequeños, la media aritmética no es representativa. El valor central en tales problemaspuede ser mejor descrito usando una medida de tendencia central llamada mediana., y denotada por X0.5

La mediana es una medida de posición y se define como la posición central en el arreglo ordenado de la siguiente manera:

Dado un conjunto de números agrupados en orden creciente de magnitud, la mediana es el número colocado en el centro del arreglo, de tal forma que una mitad de las observaciones está por encima y la otra por debajo de dicho valor. Si el número de observaciones es par, la mediana es la media de los dos valores que se hallan en el medio del arreglo, de donde se concluye en la siguiente definición:

Mediana. Es el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados de acuerdo a su magnitud. Hay tantos valores antes que la mediana como posteriores en el arreglo de datos

• La Mediana para datos no agrupados.

Sea X1, X2; X3; … ; Xn; una sucesión de datos, la mediana denotada por X0.5 se calcula de la siguiente manera:

X0.5 = X (n+1)/2 si n es par

Xn/2 + X(n/2)+1

X0.5= ---------------------- si n es impar

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Nota: El resultado obtenido en la formula corresponde al número de la observación en el arreglo, por tanto debe reemplazarse por el valor de dicha variable en el arreglo.

Ejemplo: (n es impar)

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de I año, a saber: 18,23,25.27 y 35. Obsérvese que los datos deben estar ordenados en un arreglo ascendente o descendente.

Por cuanto que el número de datos es cinco (n=5) y es impar, entonces

X0.5 = Xn+1/2 = X(5+1)/2 = X6/2 = X3 = 25 años

Nota: obsérvese que se obtuvo el número de la variable mediana (X3) que en el arreglo de edades ordenado en forma ascendente corresponde a 25 años (X3=25)

Continuación del ejemplo…(n es par)

Si el número de estudiantes hubiere sido par, suponga que se adiciona un estudiante con 31 años, entonces el arreglo ascendente consecuente sería 18, 23, 25, 27, 31 y 35, entonces la mediana se calcula asi:

• La mediana para datos agrupados

Si se tiene una distribución de frecuencias, la mediana es igualmente ese valor que tiene 50% de las observaciones por debajo y 50 % por encima. Geométricamente, la mediana es el valor de X sobre el eje de las abscisas correspondiente a la ordenada que divide un histograma en dos partes de igual área.

Para hallar el valor de la mediana,

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