Aritmética

¿Que es la Aritmetica?

La Aritmetica es una rama de las matematicas que se encarga de estudiar las estrucutras númericas elementales, asi como las propiedades de las operaciones y los números en si mismos en su concepto mas profundo, construyendo lo que se conoce como teoria de números.

Para ti es mas sencillo encontrar la aritmetica dentro de tu vida cuando:

vas a la tienda a comprar algo, y te ves en la necesidad de calcular por medio de una resta, el cambio que dara el tendero.

cuando estas a punto de a abordar el servicio publico y cuantas rapidamente la cantidad de dinero necesaria para pagar el valor del pasaje.

tambien cuando haces la cuenta o inventario de tus cosas.

Se piensa que la Aritmetica nace con la necesidad de contar los objetos y animales que el ser humano primitiva poseia.

El conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:

5 > 3; 5 es mayor que 3.

3 < 5; 3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un numero menor hay que restarle uno mayor.

Por ejemplo, la necesidad de representar el dinero adeudado, temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros está formado por:

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.

Representación de los números enteros

1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3,...

3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: − 1, −2, −3,...

Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma:

b, denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.

a, numerador, indica el numero de unidades fraccionarias elegidas.

Representación de fracciones

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los numeradores.

Por denominador el producto de los denominadores.

División de fracciones

La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:

Por numerador el producto de los extremos.

Por denominador el producto de los medios.

¿Que es la Potenciacion?

Potencia (matemáticas), producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de un número, letra o expresión algebraica por sí misma.

En la potencia a ^n, a es la base y n el exponente

Potencia de Exponente Natural

Si el exponente es un número entero mayor que 1, se define:

a ^n = a •…• a (n factores)

En especial, a ^1 = a.

Las propiedades de las potencias de exponente natural son las siguientes:

1. a ^m • a ^n = a ^(m + n)

Por ejemplo, 5 ^2 • 5 ^4 = 5 ^6

2. (a • b) ^n = a ^n • b ^n

Por ejemplo, (2 • 5) ^3 = 2 ^3 • 5 ^3

3. (a ^m) ^n = a ^(m • n)

Por ejemplo, (3 ^2) ^5 = 3 ^10

4. Si m > n,

a ^m/a ^n=a ^m-n

Por ejemplo, 5 ^6/5 ^2=5 ^4

Si m < n,

a ^m/a ^n=a ^m-n

Por ejemplo, 5 ^6/5 ^2=1/5 ^4

5. (a/b) ^n = a ^/b ^

Por ejemplo, (7/2) ^ n = 7 ^n / 2 ^n

Potencia de Exponente Entero

Si n >0, se define

a ^-n = 1/ a ^n

Por ejemplo, 10 ^ -3 = 1/10 ^ -3

Para n = 0, a ^0 = 1; por ejemplo, 17 ^0 = 1.

Las propiedades de las potencias de exponente entero son las mismas que las de exponente natural. Es decir, aunque el exponente sea un entero negativo, las propiedades siguen siendo las mismas. Sólo la propiedad 4 se puede poner de forma más sencilla y general:

4. Si m y n son dos números enteros cualesquiera, y a ≠ 0,

a ^m /a ^n = a ^m-n

Por ejemplo, a ^ -3 / a ^5= a ^ -3-5=a ^ - 8 =1 / a ^8

Potencia de Exponente Fraccionario

Si m y n son enteros, n ≥ 2, se define

Por ejemplo,

Las propiedades de las potencias de exponente fraccionario son las mismas que las de exponente entero.

El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama lenguaje numérico.

En ocasiones empleamos letras para representar cualquier número desconocido, realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico.

El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico.

La parte de

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