Las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y

modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una

relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su

resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma

ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas. Las

ecuaciones diferenciales tienen numerosas aplicaciones a la ciencia y a la ingeniería, de

modo que los esfuerzos de los científicos se dirigieron en un principio, a la búsqueda de

métodos de resolución y de expresión de las soluciones en forma adecuada. De este

modo, los primeros métodos de resolución fueron los algebraicos y los numéricos. Los

primeros permiten expresar la solución en forma exacta, como y = f (x), una función de

la variable independiente, y los segundos tienen como objetivo calcular valores que

toma la solución en una serie de puntos. Al conjunto de estos valores se lo denomina

solución numérica. La estimación de los valores en puntos intermedios puede obtenerse

por interpolación. La necesidad de recurrir a métodos alternativos a los algebraicos

obedece a que, con la excepción de unos cuantos casos más o menos sencillos, la gran

mayoría de las ecuaciones diferenciales no puede ser resuelta satisfactoriamente en

forma exacta. Por otra parte, la implementación de técnicas numéricas eficientes

requiere previamente el estudio cualitativo de las soluciones. Asimismo, los métodos

numéricos, si bien son eficaces para aportar una solución aproximada de algún

problema específico, no resultan adecuados para la discusión global del conjunto de

todas las soluciones. Basada especialmente en las ideas de Poincaré y Lyapunov se

desarrolló la llamada teoría cualitativa, que consiste en estudiar las propiedades de las

soluciones de una ecuación diferencial sin resolverla. Este método permite obtener gran

cantidad de información acerca de las soluciones, aún sin conocerlas.

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