Oscilador armónico

Oscilador armónico

Artículo bueno

Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.

La masa colgada del resorte forma un oscilador armónico.

El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación.

Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos lentamente con el paso del tiempo. Se empezará tratando el caso ideal, en el cual no hay pérdidas. Se analizará el caso unidimensional de un único oscilador (para la situación con varios osciladores, véase movimiento armónico complejo).

Índice [ocultar]

1 Casos

1.1 Oscilador armónico sin pérdidas

1.2 Oscilador armónico amortiguado

1.2.1 Oscilador sobreamortiguado

1.2.2 Oscilador con amortiguamiento crítico

1.2.3 Oscilador con amortiguamiento débil

1.2.3.1 Factor de calidad Q

1.3 Oscilaciones forzadas

1.4 Respuesta en frecuencia

1.5 Oscilador forzado y caos

1.6 Oscilador de van der Pol

1.7 Oscilador armónico torsional

2 Importancia en Física

3 Ejemplos

3.1 Circuito LC

3.1.1 Circuito LC sin pérdidas

3.1.2 Circuito LC con pérdidas

3.1.3 Oscilaciones forzadas de un circuito LC con pérdidas

4 Oscilador armónico cuántico

5 Véase también

6 Referencias

6.1 Bibliografía

7 Enlaces externos

Casos[editar]

Oscilador armónico sin pérdidas[editar]

Artículo principal: Movimiento armónico simple

Se denominará \scriptstyle{m} a la masa e \scriptstyle{y} a la distancia entre la posición de la masa y la posición de equilibrio. Se supondrá que la fuerza del resorte es estrictamente proporcional al desequilibrio: \scriptstyle{F=-ky} (ley de Hooke). \scriptstyle{F} es la fuerza y \scriptstyle{k} la constante elástica del resorte. El signo negativo indica que cuando \scriptstyle{y} es positiva la fuerza está dirigida hacia las \scriptstyle{y} negativas.

La segunda ley de Newton nos dice:

F=ma=m{dv\over dt}=m{d^2y\over dt^2}

remplazando la fuerza obtenemos:

m{d^2y\over dt^2}= -ky

La solución de esta ecuación diferencial ordinaria es inmediata: las únicas funciones reales (no complejas) cuya segunda derivada es la misma función con el signo invertido son seno y coseno. Las dos funciones corresponden al mismo movimiento. Escogemos arbitrariamente "coseno". La solución se escribe:

La curva de arriba da la posición del oscilador en función del tiempo. La del medio da la velocidad. Abajo están las curvas de las energías. En azul está la energía cinética \scriptstyle{{1\over 2}mv^2} y en rojo la energía potencial del resorte \scriptstyle{{1\over 2}ky^2}

y = A\cos(\omega t + \phi)\,

y\, es la elongación o diferencia respecto al estado de equilibrio, sus unidades son las de \scriptstyle{A}.

\scriptstyle{A} es la amplitud, máxima diferencia respecto a la posición de equilibrio.

\scriptstyle{\omega=2\pi f} es la pulsación (o frecuencia angular) y \scriptstyle{f} la frecuencia.

\scriptstyle{t} es el tiempo.

\scriptstyle{\phi} es la fase inicial (para \scriptstyle{t= 0}).

Es fácil comprobar que el valor de \scriptstyle{\omega} es:

\omega=\sqrt{{k\over m}}

El período de oscilación es:

T=2\pi\sqrt{{m\over k}}

Como ya hemos dicho, durante un cuarto de una oscilación la energía potencial se transforma en energía cinética. Durante otro cuarto, la energía cinética se transforma en energía potencial. En la figura de la derecha se ha trazado la posición en función del tiempo (curva de arriba), la velocidad en función del tiempo (en medio) y las energías potenciales y cinéticas (abajo).

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