KETS PROPIOS ASOCIADOS AL OSCILADOR ARMONICO CUANTICO

KETS PROPIOS PARA  EL OSCILADOR  ARMONICO                INFORME                                                                                                                                                

KETS PROPIOS ASOCIADOS AL OSCILADOR ARMONICO CUANTICO^[1]

Sandra Milena Gutiérrez^[2], Ricardo Chavarro^[3], Jenny Acevedo^[4] y Nubia Alvarez5                                                                                                Licenciatura en. Física, Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas, Bogotá Colombia

 ABSTRACT   —   In cases analyzed previously we has been to demonstrate that the kets characteristic of an operator lineal hermítian corresponding to different own values, is orthogonal. In this report we will take a particular case, the oscillator harmonic one-dimensional. It was demonstrated that the kets characteristic of the operator Hamiltonian associated to this case forms a orthonormal basis in the space of Hilbert associated with the system.  

 RESUMEN  —  En casos analizados anteriormente, nosotros hemos demostrado que los kets propios de un operador lineal hermítico correspondientes a valores propios diferentes, son ortogonales. En este informe vamos a tomar un caso particular, el oscilador armónico unidimensional. Se demostrara que los kets propios del operador Hamiltoniano asociado a este caso forman una base ortonormal en el espacio de Hilbert que actúa en  el  sistema.

Key Words. Quantum Harmonic Oscillator, Base Orthornomal, Proper Kets, Hamiltonian.

I. INTRODUCCIÓN

   Se quiere demostrar las dos condiciones necesarias que deben cumplir los kets propios asociados al operador Hamiltoniano, para el oscilador armónico en una dimensión. La primera de estas condiciones es que dichos kets deben pertenecer a un espacio de Hilbert separable, esto solo si forman una base ortonormal enumerable (polinomios de Hermite), siendo funciones cuadráticamente integrables. La segunda condición es que el braket debe cumplir con el denominado delta de Krönecker.

II. BASE ORTONORMAL

La primera condición para que una base sea ortonormal es que los vectores de la base son linealmente independientes si se pueden numerar por medio de números naturales;

[pic 1]            (1)

La segunda condición dice que el conjunto de vectores de la base debe cumplir el delta de Kroenecker

[pic 2] = [pic 3]                             (2)

Para el oscilador armónico cuántico unidimensional, los kets propio del operador Hamiltoniano [1]:

[pic 4]

Son los siguientes:

[pic 5]

Con [pic 6] polinomios de Hermite y [pic 7] 

Aplicando las condiciones mencionadas anteriormente  se tenemos que,  para la primera condición se hace uso del teorema de expansión el cual se enuncia de la siguiente manera “Si un espacio vectorial lineal de H tiene una base [pic 8] entonces el ket [pic 9] H se puede expresar como

[pic 10]”[pic 11]

Para llegar a esto un punto clave es que las funciones propias del oscilador armónico cuantico sean de cuadrado integrable. Recordemos que los valores propios de la energía vienen dados por

[pic 12][pic 13]

Y los  polinomios de Hermite

[pic 14][pic 15]

Analicemos las funciones para los primeros valores de energía: [1]

[pic 16]                        (8)[pic 17]

                                                                [pic 18]

[pic 19]

Fig. 1.        Función de onda para n = 0, y su función de probabilidad.

Ahora analicemos para n =1

[pic 20]         (10)   [pic 21]

                                                          [pic 22]

   [pic 23]

Fig. 2.        Función de onda para n = 6, con su función de probabilidad

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