Antecedentes De Algebra Lineal

DESARROLLO HISTÓRICO DEL ALGEBRA LINEAL

Publicado por: María Inés Morales La palabra Álgebra deriva de la expresión árabe “Al-jabr” que significa “restauración” del equilibrio mediante la trasposición de términos de una ecuación. Esta expresión es tomada del libro “Al-jabr wa' l muqäbala” que fuera escrito por el matemático árabe Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850) a quien se considera como el “padre del Álgebra”.

El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).

Pero el Álgebra tiene sus orígenes en Egipto y Babilonia en el segundo milenio antes de Cristo cuando estas civilizaciones la usaban para resolver ecuaciones poli nómicas de primer y segundo grado. De hecho los primeros rudimentos de lo que hoy conocemos como Álgebra lineal se han encontrado en el documento matemático mas antiguo que ha llegado hasta nuestros días: el papiro Rhind, conservado en el Museo British con algunos fragmentos en el Museo Brooklyn, y conocido también como el Libro de Calculo, el cual fue escrito por el sacerdote egipcio Ahmés hacia el año 1650 a.C. En este valioso documento se consideran las ecuaciones de primer grado, donde la incógnita aparece representada por un “ibis”.

Que significa escarbando en el suelo, posiblemente por su aplicación a la agrimensura.

Este documento contiene 85 problemas redactados en escritura hierática y fue concebido originalmente como un manual práctico para los no iniciados. Según el propio Ahmés, este texto es una copia de uno más antiguo (2000-1800 a.C.), algunos de cuyos documentos proceden quizá de periodos más antiguos.

Por su parte los babilonios sabían como resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones de primer y segundo grado, usando competición de cuadrados o sustitución, así como también ecuaciones cubicas y bicuadráticas, y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales tales como:

{x±y=a{x±y=a{ax+y+cz=d

x^2±y^2=b , xy=b y mx+ny+p=h

Un ejemplo concreto de una tal situación ha llegado hasta nuestros días en una de las famosas tablillas de Croquetta, que datan del último periodo sumerio hacia el año 2100 a.C., es el siguiente problema:

“Existen dos campos cuyas áreas suman 1800 yardas cuadradas. Uno produce granos en razón de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras que el otro produce granos en razón de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si la producción total es de 1100 sacos, ¿cual es el tamaño de cada campo?”

Los matemáticos chinos durante los siglos III y IV a.C. continuaron la tradición de los babilonios y nos legaron los primeros métodos del pensamiento lineal. Por ejemplo, en el tratado Nueve capítulos sobre el Arte Matemático, publicado durante la Dinastía Han, aparece el siguiente sistemalineal:

{3x+2y+z=39

2x+3y+z=34

x+2y+3z=26

Así como un método para su resolución, conocido como la regla “fan-chen”, la cual, en esencia, es el conocido método de eliminación gaussiana de nuestros días. Es interesante recordar el problema que dio origen a este sistema lineal, el cual es similar al planteado por los babilonios:

“Hay tres clases de granos; tres gavillas de primera clase, dos de la segunda clase y una de la tercera hacen 39 medidas; dos de la primera, tres de la segunda y una de la tercera hacen 34 medidas; y una de la primera, dos de segunda y tres de la tercera hacen 26 medidas. ¿Cuantas medidas de granos están contenidas en una gavilla de cada clase?”

Esta obra Nueve capítulos sobre el Arte Matemático fue compuesta por el hombre de estado y científico Chuan Tsanom en el año 152 a.C. y en él se incluyeron sistemáticamente todos los conocimientos matemáticos de la época. Es oportuno recordar que esta obra fue consultada por Carl Friederich Gauss en un estudio sobre la órbita del asteroide Pallas. Usando observaciones de Pallas, tomadas entre los años 1803 y 1809, Gauss obtiene un sistema de seis ecuaciones lineales con seis incógnitas y da un método sistemático para resolver tales ecuaciones, hoy día conocido como eliminación gaussiana.

Los matemáticos griegos, por su parte, no se preocuparon por los problemas lineales, a pesar de poseer un reconocido pensamiento lineal en sus consideraciones geométricas de origen pitagórico y de reminiscencias babilonias.

VECTORES

El álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, y más recientemente, con los sistemas de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. En ambos contextos subyacen los importantes conceptos de vector y espacio vectorial.

A finales del siglo XVII fueron redescubiertas y desarrolladas las ideas originales

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