Algebra Lineal

TRANSFORMACION LINEAL

En este capitulo se estudia una clase especial de transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en algebra lineal y otras ramas de matemáticas. Las transformaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaiones importantes antes de definirlas se estudiaran dos ejemplos sencillos para ver lo que puede suceder

Definición 1 TRANFORMACION LINEAL

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector V E V en vector único Tv E W y que sastifacen para cada u y v en V y cada escalar alfa

T( u + v )= Tu + Tv…………………………. 1

Y

T(αv)=α Tv…………………………..2

1.- se escribe T:V  W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W ; esto es T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2.-se escriben indistintamente Tv y T (v) . Denotan lo mismo; las dos se leen T de v esto es análogo a la notación funcional f(x)

3.- muchas de las definiciones y teoremas en este capitulo se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos) las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales

EJEMPLO: REPRESENTACION RESPECTO AL EJE X : EN Ȓ² se define como una función T mediante la formula T(x,y) = (x,-y) Geometicamnte , T toma un vector en Ȓ² y lo refloja respecto al eje x .

(x, y)

x

T (x, y) = (x, -y)

Ejemplo 2 : TRANSFORMACION DE UN VECTOR DE PRODUCCION EN UN VECOTR DE MATERIA PRIMA.

Un fabricante hace 4 tipos de productos cada uno requiere tres tipos de materiales . se denota a los 4 productos por P1 , P2 , P3 , P4 y a los materiales por R1, R2. R3. La tabla siguiente da el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto

Necesarios para producri 1 unidad

P1 P2 P3 P4

R1 2 1 3 4

R2 4 2 2 1

R3 3 3 1 2

NUEMRO S DE UNIDADES DE MATERIA PRIMA

¿Si se produce cierto numero de los cuatro productos cuantas unidades de material se necesitan? Sean P1P2P3P4 el numero de artículos fabricados de los cuatro productos y sean R1R2R3

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