Algebra Lineal

Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 1

2 Espacios vectoriales

2.1 Espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V 6= ; sobre el que

hay definidas dos operaciones:

1. Suma:

+ : V £ V ¡! V

(u; v) ¡! u + v

verificando las siguientes propiedades:

(a) Conmutativa: u + v = v + u, 8u; v 2 V .

(b) Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w), 8u; v;w 2 V .

(c) Elemento neutro: Existe 0 2 V tal que u + 0 = 0 + u = u, 8u 2 V .

(d) Elemento opuesto: Para todo u 2 V existe ¡u 2 V tal que u+(¡u) = (¡u)+u = 0

2. Producto por un escalar:

¢ :K £ V ¡! V

(¸; u) ¡! ¸ ¢ u

verificando las siguientes propiedades:

(a) 1 ¢ u = u, 8u 2 V .

(b) ¸ ¢ (¹ ¢ u) = (¸¹) ¢ u, 8¸; ¹ 2 K, 8u 2 V .

(c) (¸ + ¹) ¢ u = ¸ ¢ u + ¹ ¢ u, 8¸; ¹ 2 K, 8u 2 V .

(d) ¸ ¢ (u + v) = ¸ ¢ u + ¸ ¢ v, 8¸ 2 K, 8u; v 2 V .

Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores.

Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los n´umeros reales.

Nota: En lo sucesivo, siempre que no haya confusi´on se omitir´a el punto (¢) en la operaci´on

producto por escalar.

Ejemplos

Son espacios vectoriales reales, con las operaciones que se indican, los siguientes:

1. El conjunto de n-uplas de n´umeros reales:

Rn = fx = (x1; x2; : : : ; xn) = (xi)1·i·n : xi 2 R; 1 · i · ng

con las operaciones:

x + y = (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn)

¸x = (¸x1; ¸x2; : : : ; ¸xn)

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 2

2. El conjunto de matrices de dimensi´on n £ m:

Mn£m(R) =

½

A = (aij) 1·i·n

1·j·m

: aij 2 R; 1 · i · n; 1 · j · m

¾

con las operaciones: suma de matrices y producto por n´umeros reales.

3. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x:

P(R) =

(

Xn

k=0

akxk : n 2 N; ak 2 R

)

con las cl´asicas operaciones de suma y producto por n´umeros reales.

4. El conjunto de todos los polinomios, con coeficientes reales en la variable x, de grado

menor o igual que n:

Pn(R) =

(

Xn

k=0

akxk : ak 2 R

)

con las mismas operaciones anteriores.

5. El conjunto de todas las funciones reales:

F(R) = ff : R ¡! Rg

con las operaciones: suma de funciones y producto por n´umeros reales.

6. El conjunto de todas las sucesiones de n´umeros reales:

S = f(xn)1

n=0 : xn 2 R; n ¸ 1g

con las operaciones: suma de sucesiones y producto por n´umeros reales.

7. Si Z2 = f0; 1g, entonces Zn

2 es un espacio vectorial sobre el cuerpo Z2, con las operaciones:

0 + 0 = 1 + 1 = 0 ; 0 + 1 = 1 + 0 = 1 y 0 ¢ 0 = 0 ¢ 1 = 1 ¢ 0 = 0 ; 1 ¢ 1 = 1

2.2 Propiedades

Si V es un espacio vectorial, entonces

1. 0 ¢ u = 0.

2. (¡1) ¢ u = ¡u.

para todo u 2 V .

2.3 Subespacio vectorial

Se llama subespacio vectorial de un espacio vectorial V a cualquier subconjunto no vac´ıo

S ½ V que es espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre V .

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2.4 Caracterizaci´on de subespacios vectoriales

Si V es un espacio vectorial y S ½ V , S 6= ;, entonces

S es subespacio vectorial de V ()

(

(1) u + v 2 S, 8u; v 2 S

(2) ¸u 2 S, 8¸ 2 K y 8u 2 S

Demostraci´on:

()) Evidente, pues S es espacio vectorial.

(() (1) y (2) garantizan que las operaciones est´an bien definidas sobre S, al ser ´este un conjunto

cerrado respecto de ellas. Adem´as, por ser S un subconjunto de V , se verifican todas las

propiedades de la suma y el producto siempre que sea cierto que 0 2 S y que el opuesto de

cualquier elemento de S est´a en S. Ahora bien, para cualquier u 2 S,

0 = 0 ¢ u 2 S y ¡ u = (¡1) ¢ u 2 S

luego S es un subespacio vectorial de V .

2.5 Corolario

Si V es un espacio vectorial y S ½ V , S 6= ;, entonces

S es subespacio vectorial de V () ¸u + ¹v 2 S ; 8¸; ¹ 2 K; 8u; v 2 S

Ejemplos

1. En todo espacio vectorial V , el conjunto f0g es un subespacio vectorial llamado subespacio

trivial.

2. Sea F(R) = ff : R ¡! Rg el espacio vectorial de las funciones reales. Son subespacios

vectoriales:

S1 = ff 2 F(R) : f(0) = 0g S2 = ff 2 F(R) : f continuag

S3 = ff 2 F(R) : f acotadag S4 = ff 2 F(R) : f derivableg

y no lo son

S5 = ff 2 F(R) : f(x) > 0; 8x 2 Rg S6 = ff 2 F(R) : jf(x)j · 1; 8x 2 Rg

3. Son subespacios vectoriales del espacio vectorial P(R), de todos los polinomios en x con

coeficientes reales, los siguientes:

S1 =

©

p 2 P(R) : p0(0) = 0

ª

S2 = fp 2 P(R) : a0 = a1 = 0g

donde a0 y a1 son los coeficientes de grado 0 y 1, respectivamente. No son subespacios

vectoriales:

S3 = fp 2 P(R) : grado(p) = 4g S4 = fp 2 P(R) : el grado de p es parg

4. En el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden n, el subconjunto de las

matrices sim´etricas es un subespacio vectorial, y no lo son el subconjunto de las matrices

regulares ni el de las matrices singulares.

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´atica Aplicada, FI-UPM 4

5. El conjunto de soluciones del sistema homog´eneo Ax = 0, A 2Mm£n(R), es un subespacio

vectorial de Rn.

6. Son subespacios vectoriales de M2£2(R):

S1 =

½µ

0 a

b 0

¶

: a; b 2 R

¾

S2 =

½µ

0 a

¡a 0

¶

: a 2 R

¾

y no lo es

S3 =

½µ

0 1

a 0

¶

: a 2 R

¾

2.6 Combinaci´on lineal

Sea V un espacio vectorial. Se dice que v 2 V es combinaci´on lineal de los vectores

fv1; v2; : : : ; vng ½ V , si existen ®1; ®2; : : : ; ®n 2 K tales que

v =

Xn

i=1

®ivi

Ejemplos

1. En R3, para averiguar si el vector v = (1; 2; 3) es combinaci´on lineal de v1 = (1; 1; 1),

v2 = (2; 4; 0) y v3 = (0; 0; 1), se plantea la ecuaci´on vectorial:

(1; 2; 3) = ®(1; 1; 1) + ¯(2; 4; 0) + °(0; 0; 1)

que equivale al siguiente sistema de

...