Probabilidad

Cap´ıtulo 1

Eventos y Probabilidad.

1.1 Axiom´atica de Kolmogorov.

Definici´on 1.1.1 Definimos espacio muestral

como el conjunto de resultados posibles.

Definici´on 1.1.2 Se llama suceso aleatorio A, a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Definici´on 1.1.3 F = } (

) . El conjunto de los sucesos aleatorios asociados a un experimento

aleatorio con espacio muestral

.

Definici´on 1.1.4 Suceso complementario Ac, suceso uni´on A[B, el suceso intersecci´on A\B. Si

A \ B = ; entonces decimos que son incompatibles. Dados {Ai} decimos que forman un sistema

completo de sucesos si son mutuamente excluyentes y [Ai =

.

Definici´on 1.1.5 Ya fijados (

, F) entonces P es una probabilidad sobre F si:

1. P : F −! [0, 1]  R,

2. P (

) = 1,

3. Si A,B 2 F, A \ B = ; =) P(A [ B) = P(A) + P(B), si {Ai}n

i=1 2 F, Ai \ Aj = ; =)

P([Ai) =

P

i P(Ai).

La idea intuitiva de probabilidad viene de la de frecuencia i.e.

frec(A) = poblaci´on de A

poblaci´on total

Propiedades 1.1.1 1. P (

\A) = P(Ac) = 1 − P(A),

• P(;) = 1 − P (

) = 0.

1

2 CAP´ITULO 1. EVENTOS Y PROBABILIDAD.

2. P(A [ B) = P(A) + P(B) − P(A \ B),

• Si A \ B = ; =) P(A [ B) = P(A) + P(B).

3. Principio de inclusi´on-exclusi´on:

P(A [ B [ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A \ B) − P(A \ C) − P(B \ C) + P(A \ B \ C).

4. P(A\B) = P(A)\P(A \ B), observar que: A = (A\B) [ (A \ B).

5. Si A  B, P(A)  P(B).

Proposici´on 1.1.1 Si {Ai}n

i=1 2 F (nofinito de sucesos)

P([Ai) 

X

i

P(Ai)

Teorema 1.1.1 Si {Ai}1

i=1 2 F / Ai  Ai+1 entonces

lim

i−!1

P(Ai) = P([1i Ai)

Corolario 1.1.1 Si Ai  Ai+1

lim

i−!1

P(Ai) = P(\1i Ai)

Corolario 1.1.2 Para un n´umero infinito de sucesos:

P(1[

Ai) 

1X

i

P(Ai)

Ejemplo 1.1.1 Tomemos una baraja con 52 cartas (cada palo tiene 13 cartas con s´olo 3 figuras).

Por lo tanto nuestro espacio muestral

= {52 cartas} . Consideramos los sucesos

A = {espadas}

B = {figura}

y queremos calcular las siguientes probabilidades:

P(A), P(B), P(A \ B) y P(A [ B).

Para calcular la probabilidad del suceso A tenemos en cuenta:

P(A) =

node cartas que son espadas

nototal de cartas

=

13

52

1.2. PROBABILIDAD CONDICIONAL. F ´ORMULA DE BAYES. SUCESOS INDEPENDIENTES.3

de igual forma calculamos la probabilidad del suceso B

P(B) =

node cartas que son figuras

nototal de cartas

=

3 · 4

52

tres figuras por palo y 4 palos. P(A \ B) significa n´umero de figuras que son espadas, entonces:

P(A \ B) =

node figuras que son espadas

nototal de cartas

=

3

52

y por ´ultimo

...