La probabilidad matemática

La probabilidad matemática tiene sus orígenes en los juegos de azar, principalmente los juegos con dados y cartas, muy populares desde tiempos antiguos. Los primeros studios “científicos” sobre fenómenos aleatorios se centraban en dos problemas:

1.Contabilizar el número de posibles resultados de lanzar un dado varias veces.

2.Distribuir las ganancias entre jugadores cuando el juego se interrumpía antes de finalizar, conocido como el ‘problema del reparto de apuestas’.

Una respuesta al primer problema se puede encontrar en el poema De Vetula, de Richard de Fournival (1200–1250), donde afirma correctamente que si se lanzan tres dados hay 216 combinaciones posibles y calcula correctamente los diferentes valores para la suma de los tres dados. Aunque ahora puede parecer una cuestión trivial, en aquella época no lo era, y otros autores erraron al intentar resolverla, generalmente porque no tenían en cuenta las posibles permutaciones de una misma combinación.

El segundo problema fue abordado por Luca Pacioli (1445–1517), quien en 1487 propuso estos dos similares problemas particulares: un juego en el que el premio es de 22 ducados que consiste en alcanzar 60 puntos se interrumpe cuando un equipo lleva 50 puntos y el otro 30; y tres arqueros que compiten por un premio de 6 ducados lanzan flechas hasta que uno de ellos haga 6 dianas, siendo interrumpidos cuando el primero de ellos lleva 4 dianas, el segundo 3 y el tercero

2. ¿Cómo deben repartirse los premios entre los contendientes? Pacioli propuso que el premio debería ser repartido en función de las victorias obtenidas anteriormente: así, el premio del primer problema se dividía en 60×5/8 ducados para el primer equipo y en 60×3/8 para el segundo; para el problema de los arqueros, el premio se dividía en la proporción 4/9, 3/9 y 2/9. Como más tarde se pondría de manifiesto, esta solución es incorrecta

PROBABILIDAD

Rama de las matemáticas que se ocupa de medir cuantitativamente la posibilidad de que ocurra un determinado suceso.

La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la Estadística.

Las probabilidades se expresan como fracciones o como decimales que están entre uno y cero.

Censo

Es un conjunto de operaciones que reúnen, elaboran y publican datos demográficos, económicos y sociales correspondientes al total los habitantes de un país o territorio, referidos a un momento determinado o a ciertos períodos dados.

Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida:

Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.

Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:

Donde:

P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.

P (B  A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B

P (A) es la probabilidad a priori del suceso A

En el ejemplo que hemos visto:

P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A).

P (B  A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.

P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par.

Por lo tanto:

P (B  A) = 1/6

P (A) = 1/2

P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3

Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).

TECNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

REGLA FUNDAMENTAL DEL CONTEO

Si en experimento está integrado por dos ensayas, donde uno de ellos (una sola sección o elección) tiene m resultados posibles y en otro ensayo tiene n resultados posibles, entonces cuando los ensayos se realizan juntos, se tiene:

m x n

REGLA GENERAL DEL CONTEO.

Si un experimento está compuesto por k ensayos realizados en un orden definido, donde el primero tiene n, resultados posibles, etc. entonces el número de resultados posibles para el experimento es:

N1 x n2 x n3 x…x ni.

PERMUTACIONES

En matemáticas, dado un conjunto finito, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1, 2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

El número de permutaciones de n objetos es el número de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de orden.

La técnica de la permutación es aplicada para encontrar

...