Probabilidades Matemáticas

INTRODUCCIÓN

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas

La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

A continuación se definirán y se dará ejemplos de las probabilidades estadísticas.

EXPERIMENTO Y SUS TIPOS

Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar (confirmar o verificar) una o varias hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno, mediante la manipulación de la/s variables que presumiblemente son su causa.

La experimentación constituye uno de los elementos claves del método científico y es fundamental para ofrecer explicaciones causales.

En un experimento se consideran todas las variables relevantes que intervienen en el fenómeno, mediante la manipulación de las que presumiblemente son su causa, el control de las variables extrañas y la aleatorización de las restantes. Estos procedimientos pueden variar mucho según las disciplinas (no es igual en Física que en Psicología, por ejemplo), pero persiguen el mismo objetivo: excluir explicaciones alternativas (diferentes a la variable manipulada) en la explicación de los resultados. Este aspecto se conoce como validez interna del experimento, la cual aumenta cuando el experimento es replicado por otros investigadores y se obtienen los mismos resultados. Cada repetición del experimento se llama prueba o ensayo.

Tipos de Experimentos

Experimento determinista. Es aquel que siempre tiene el mismo resultado.

Un ejemplo de experimento determinista clásico es lanzar una piedra al vacío desde una altura de cierto edificio, no importa el tipo de piedra, el comportamiento de ella será el mismo en todas las caídas.

Experimento aleatorio. Es aquel que puede o no producir un resultado esperado.

Una característica del experimento aleatorio es que si se repite un número suficientemente grande de veces, entonces es posible predecir el número aproximado de ocurrencias del resultado.

Al repetir un experimento aleatorio, encontramos frecuencia relativa al resultado de la razón:

Frecuencia relativa =

Número de ocurrencias de resultado

Número de repeticiones del experimento

Si repetimos el experimento aleatorio varias veces, encontramos que las frecuencias relativas del resultado r son casi iguales, sin ningún cambio aunque aumente el número de repeticiones cada vez, entonces decimos que las frecuencias se han estabilizado y a cualquiera de ellas las llamamos probabilidad del resultado r.

Un ejemplo de experimento aleatorio es lanzar al aire una moneda.

Espacio muestral

Por espacio muestral (también conocido como espacio de muestreo) se entiende el grupo de todos los resultados específicos que se pueden obtener tras una experimentación de carácter aleatorio. A cada uno de sus componentes se los define como puntos muestrales o, simplemente, muestras.

Por citar un caso a modo de ejemplo concreto: si la prueba se basa en arrojar un dado, el espacio muestral estará constituido por los puntos muestrales identificados como los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, ya que esos son los resultados posibles de la acción de tirar el dado. Por lo tanto, se puede establecer que el espacio muestral del experimento es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Cabe resaltar que, en ciertos casos, los experimentos pueden tener dos o más espacios muestrales posibles. El experimento de tomar un naipe de una baraja española, por ejemplo, tiene un espacio de muestreo compuesto por los números y otro espacio muestral formado por los palos. La descripción más completa, pues, debería incluir ambos valores (número y palo) en un eje cartesiano.

Los espacios muestrales pueden clasificarse como discretos (cuando la cantidad de sucesos elementales es finito o numerable) o continuos (en los casos en los cuales la cantidad de sucesos básicos posee carácter infinito y, por lo tanto, resulta imposible de contar).

Evento o Suceso

En estadística, un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

Formalmente, sea Ω un espacio muestral, entonces un evento es un subconjunto , donde son una serie de posibles resultados.

Se dice que un evento A ocurre, si el resultado del experimento aleatorio es un elemento de A.

Tipos de eventos

Evento simple o suceso elemental

Un suceso o evento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento.

Ejemplos de espacios muestrales y sucesos elementales:

Si se trata de contar objetos y el espacio muestral S = {0, 1, 2, 3, ...} (los números naturales), entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos {k}, donde k ∈ N.

Si se lanza una moneda dos veces, S = {cc, cs, sc, ss}, donde (c representa

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