Probabilidad Y MatemATICAS

Unidad I: Fundamentos y elementos básicos de la teoría de decisiones.

1.2.- Fundamentos básicos:

Variables Aleatorias

Anteriormente los experimentos se concebían de tal manera que los resultados del espacio muestral eran cualitativos. Como ejemplos de resultados cualitativos podemos citar:

+ El lanzamiento de una moneda, su espacio es: S= ¬{cara, cruz¬}

+Producto manufacturado en una fábrica puede ser: S={defectuoso, no defectuoso¬}

+ Una persona en particular puede preferir la loción: S= {x,y}

Debido a que resulta interesante en algunos casos cuantificar el comportamiento aleatorio de un espacio muestral, se introduce el concepto de la variable aleatoria, la cual permite relacionar cualquier resultado con una medida cuantitativa.

Definición: Sea S un espacio muestral sobre el que se encuentra definida una función de probabilidad. Sea X una función de valor real definida sobre S, de manera que transforme los resultados de S en puntos sobre la recta de los reales. Se dice entonces que X es una variable aleatoria. De otra forma, dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es S, una función X que asigna a cada elemento w de S un número real, denotado por X(w), se denomina variable aleatoria. Transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas. Por otro lado, el término aleatoria se utiliza para indicar que antes de realizar el experimento no es posible determinar el valor específico que va a tomar X, ya que el mismo depende del resultado que ocurra al efectuarse el experimento.

Como ya se ha dicho, a través de X se establece una correspondencia entre los elementos del espacio muestral X y los números reales , y en consecuencia, con la finalidad de simplificar

Ejemplo 1:

Consideren el lanzamiento de una moneda. El espacio muestral está constituido por dos posibles resultados “cara” y “cruz” . Entonces sea X(cara)=0 y X(cruz)= 1. De esta manera se transforma los dos posibles resultados del espacio muestral en puntos sobre la recta. Ahora bien, P(X=0) es la probabilidad de que caiga cara cuando se lance la moneda.

Ejemplo 2:

Un experimento aleatorio consiste en registrar en secuencia el sexo de los dos primeros bebes que nacen en un hospital un día cualquiera. Si utilizamos V para varón y H para hembra, el espacio muestral viene dado por :

S={VV,VH,HV,HH}.

Consideremos la variable aleatoria X definida de la siguiente manera:

X: Número de hembras en los dos recién nacidos. Por lo tanto X permite asociara los elementos de S los siguientes números reales:

X(¬{VV}) = 0

X(¬{VH})= X(¬{HV})= 1

X(¬{HH})=2

El dominio de X es el conjunto ¬{VV, HV,VH,HH} y el rango es {0,1,2}, luego,

P(X=0)= P({VV}) = ¼

P(X=1)= P({VH, HV}) = 2/4 =P({VH})+ P({HV})=1/4 + 1/4 = ½

P(X=2)= P({HH}) = ¼

Las variables aleatorias se dividen en dos tipos: Variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

Variables aleatorias discretas:

Una variable aleatoria es discreta cuando puede tomar un número finito o infinito contable de valores, es decir, que pueden ordenarse en secuencia.

Son ejemplos de variables aleatorias discretas:

+El número de accidentes de tránsito que ocurren en una autopista en un lapso de tiempo determinado.

+El número de artículos defectuosos que se encuentran en una muestra aleatoria de 10 artículos producidos por una máquina.

+El número de veces que se lanza una moneda hasta que aparézcala primera cara.

`+El número de hermanos de una persona seleccionada al azar.

Distribución de probabilidad de una Variable aleatoria discreta:

Se denomina distribución de una v.a (variable aleatoria) discreta X al conjunto formado por los valores x que puede tomar esa variable y las correspondientes probabilidades P(X=x) con que X puede tomar esos valores. En toda distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta debe cumplirse : a.- que todas las probabilidades deben estar entre 0 y 1, y b.- que la suma de ellas es igual a la unidad, es decir,

a.- 0 ≤ P(X=x) ≤ 1 ∀ x

b.- ∑P(X=x)= 1

La distribución de probabilidad de una v.a. describe teóricamente la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio. Intuitivamente se trataría de una lista de los resultados posibles de un experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas con cada resultado.

Ejemplo 3:

Observen que la v.a del ejemplo 2 tiene una distribución de probabilidad dada por la siguiente tabla:

X 0 1 2

P(X=x) ¼ ½ ¼ = 1

Y la suma de las probabilidades es igual a 1

Esperanza matemática de una variable aleatoria discreta:

Originalmente el concepto de esperanza matemática surgió en relación con los juegos de azar y en su forma más simple es el producto de la cantidad que un jugador puede ganar y la probabilidad de ganar.

Sea X una variable aleatoria discreta con una distribución P(X=x) y sea E(x), una función de esa variable aleatoria. La esperanza matemática o valor esperado de (x), está denotado por:

E(x)= ∑ xP(x)

Es decir, la sumatoria del valor de la variable aleatoria (x) por su correspondiente probabilidad.

Ejemplo 4:

Dado el ejemplo 2. Nos piden hallar la esperanza matemática o valor esperado de bebes que nacen en un hospital un día cualquiera, donde X está representada por: el número de hembras en esos nacimientos.

Tenemos las probabilidades de ocurrencia de cada caso, por lo tanto su esperanza matemática está dada de la siguiente forma:

E(x)= 0(1/4)+1(1/2)+2(1/4)=

E(x)= 0 +1/2 +1/2 = 1

Interpretación: El hecho de que E(X)=1 no quiere decir que cada vez que nazcan dos bebes, uno de ellos va a ser hembra. Esto lo que representa es el número esperado de hembras cuando nacen dos bebes.

Ejemplo 5:

Consideremos el siguiente juego. Se selecciona una carta al azar de una baraja española, en donde son 40 cartas de las cuales (28 están numeradas del 1 al 7), si sale un número Ud. Gana 1 BsF. Pero si sale una figura (sota, caballo o rey), ud. Pierde 3 BsF. ¿Es justo el juego?

Solución:

Experimento:

...