ANUALIDADES VENCIDAS Y ANTICIPADAS

DOCUMENTO DE CLASE DEL DOCENTE JUAN CARLOS RESTREPO RIOS Y DIANA SIRLEY TABARES HIGUITA.

EL TEXTO SIGUIENTE FUE TOMADO DEL LIBRO:

• Patiño Lemus, María Ruth. Pérez Schile Eduardo. Ingeniería económica. 1ª edición.

Fue remitido a ustedes con Autorización de la autora Maria Ruth Patiño, con fines académicos.

En el texto encontrarán el tema de Anualidades, contemplado en el módulo de matemáticas financieras.

1. ANUALIDADES

Una anualidad consiste en una serie de cuotas uniformes y periódicas que se realizan durante un período continuo a una  tasa de interés i constante. Un préstamo para comprar un automóvil que comunmente se paga en cuotas iguales o un ahorro periódico constante son ejemplos típicos de lo que entenderemos por anualidades.

 Los pagos o cuotas que conforman el sistema,  deben cumplir las siguientes  condiciones:

• Son uniformes, es decir, todas son iguales.
• Son periódicas, es decir, que se dan período tras período sin interrupción alguna.
• El número de cuotas es igual al número de períodos.
• La tasa de interés permanece constante durante los n periodos.

Por anualidad ordinaria, entenderemos una anualidad en la cual las cuotas se pagan al final de cada período. Al valor de cada cuota suele llamársele renta y al tiempo entre dos cuotas se le llama período de renta.  Si las cuotas se pagan al iniciar cada periodo la anualidad se denomina anualidad  anticipada.                                        

1. CALCULO DE LA CUOTA FIJA

Para introducir el concepto de anualidad, retomemos un ejemplo de amortización:

Ejemplo 1: Una persona ha efectuado un préstamo de $2.000.000 que deberá pagar en un año con cuotas trimestrales al 24% nominal. Cual será el valor de cada cuota?        

Miremos el diagrama del flujo de caja:

[pic 1]

Si planteamos una ecuación de valor con fecha focal en el mes cero debemos considerar que 2.000.000 es el valor presente de las cuatro cuotas fijas:

Tasa trimestral = 24% / 4 = 6%

2.000.000 = A/( 1 + 0,06 )1 + A/( 1 + 0,06 )2 + A/( 1 + 0,06 )3 + A/( 1 + 0,06 )4

2.000.000 = A [ ( 1 + 0,06 )-1 + ( 1 + 0,06 )-2 + ( 1 + 0,06 )-3 + ( 1 + 0,06 )-4 ]

2.000.000 = A x 3,46510561

A = 577.182,98

El cálculo pudo efectuarse entonces por el simple hecho de que solo había cuatro cuotas. Pero si el número de cuotas es mucho más alto, debe tratar de encontrarse una fórmula que facilite los cálculos.

Generalizemos:  Supongamos que se desea amortizar un préstamo de P pesos, con cuotas uniformes durante n periodos a una tasa de interes i.

[pic 2]

Si plantemos una ecuación de valor con el periodo cero como fecha focal, tendremos:

Ecuación (a):

P = A/( 1 + i )1 + A/( 1 + i )2 + A/( 1 + i )3 + . . . + A/( 1 + i )n                  

Multiplemos ambos miembros de la ecuación por el factor (1+ i )

P x (1 + i ) = (1 +i ) x [ A/( 1 + i )1 + A/( 1 + i )2 + A/( 1 + i )3 + . . . + A/( 1 + i )n]

Ecuación (b):

P x (1 + i ) =  A + A/( 1 + i )1 + A/( 1 + i )2 + A/( 1 + i )3 + . . . + A/( 1 + i )n-1         

Si de la Ecuación (b) restamos miembro a miembro la Ecuación (a) se tendrá:

         P x ( 1 + i ) - P = A - A/( 1 + i )n

         P x [ ( 1 + i ) - 1 ] = A x [ ( 1 + i )n - 1 ] / ( 1 + i )n

 [pic 3]

         [pic 4]

                P  = A x an]i

[pic 5]

Si en la fórmula anterior despejamos A, tendremos:

         [pic 6]

Para ilustrar la fórmula miremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2: Una persona ha efectuado un préstamo de $15.000.000 para comprar un automóvil y se le fijan cuotas mensuales durante cinco años al 21% nominal liquidado mensualmente. Cual es el valor de la cuota mensual?

        i = 0,21 / 12 = 0,0175 = 1,75% mensual.

        n = 5 x 12 = 60 meses

[pic 7]

        A = 405.800,40

1. CALCULO DEL VALOR PRESENTE

Para el cálculo del valor presente de una anualidad ordinaria, es decir aquella en la cual las cuotas se pagan al final de cada período, basta reemplazar el valor de la tasa de interés periódica, el número de cuotas y el valor de la cuota fija en la fórmula que dedujimos en la sección anterior para P.

Ejemplo 3: Una persona desea efectuar una inversión de tal manera que el último día de cada mes pueda retirar $250.000 durante los próximos tres años. Cuánto debe invertir hoy al 12% nominal liquidado mensualmente?

[pic 8]

        i  = 0,12 / 12 = 0,01 = 1% mensual

        n = 12 x 3 = 36 meses

        P = 250.000 x [ ( 1 + 0,01 )36 - 1 ][pic 9]

                       0,01 x ( 1 + 0,01 )36

        P = 250.000 x a36]1% =  250.000 x  30,107505 = 7.526.876,26

1. CALCULO DEL VALOR FUTURO

Podría también presentarse el caso en el cual debamos encontrar el valor futuro de una anualidad cuando por ejemplo debemos calcular el monto final de una inversión.

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