Administracion Financiera

Coeficiente de correlación de Karl Pearson

Dado dos variables, la correlación permite hacer estimaciones del valor de una de ellas conociendo el valor de la otra variable.

Los coeficientes de correlación son medidas que indican la situación relativa de los mismos sucesos respecto a las dos variables, es decir, son la expresión numérica que nos indica el grado de relación existente entre las 2 variables y en qué medida se relacionan. Son números que varían entre loslímites +1 y -1. Su magnitud indica el grado de asociación entre las variables; el valor r = 0 indica que no existe relación entre las variables; los valores ( 1 son indicadores de una correlación perfecta positiva (al crecer o decrecer X, crece o decrece Y) o negativa (Al crecer o decrecer X, decrece o crece Y).

Para interpretar el coeficiente de correlación utilizamos la siguiente escala:

Valor Significado

-1 Correlación negativa grande y perfecta

-0,9 a -0,99 Correlación negativa muy alta

-0,7 a -0,89 Correlación negativa alta

-0,4 a -0,69 Correlación negativa moderada

-0,2 a -0,39 Correlación negativa baja

-0,01 a -0,19 Correlación negativa muy baja

0 Correlación nula

0,01 a 0,19 Correlación positiva muy baja

0,2 a 0,39 Correlación positiva baja

0,4 a 0,69 Correlación positiva moderada

0,7 a 0,89 Correlación positiva alta

0,9 a 0,99 Correlación positiva muy alta

1 Correlación positiva grande y perfecta

a) Para datos no agrupados se calcula aplicando la siguiente ecuación:

Ejemplo ilustrativo:

Con los datos sobre las temperaturas en dos días diferentes en una ciudad, determinar el tipo de correlación que existe entre ellas mediante el coeficiente de PEARSON.

X 18 17 15 16 14 12 9 15 16 14 16 18 SX =180

Y 13 15 14 13 9 10 8 13 12 13 10 8 SY= 138

Solución:

Se calcula la media aritmética

Se llena la siguiente tabla:

Se aplica la fórmula:

Existe una correlación moderada

En Excel se calcula de la siguiente manera:

a) Se inserta la función COEF.DE.CORREL y pulsar en Aceptar. En el cuadro de argumentos de la función, en el recuadro de la Matriz 1 seleccionar las celdas de X, y en el recuadro de la Matriz 2 seleccionar las celdas de Y. Pulsar en Aceptar.

b) Para datos agrupados, el coeficiente de Correlación de Pearson se calcula aplicando la siguiente fórmula:

Donde

n = número de datos.

f = frecuencia de celda.

fx = frecuencia de la variable X.

fy = frecuencia de la variable Y.

dx = valores codificados o cambiados para los intervalos de la variable X, procurando que al intervalo central le corresponda dx = 0, para que se hagan más fáciles los cálculos.

dy = valores codificados o cambiados para los intervalos de la variable X, procurando que al intervalo central le corresponda dy = 0, para que se hagan más fáciles los cálculos.

Ejemplo ilustrativo:

Con los siguientes datos sobre los Coeficientes Intelectuales (X) y de las calificaciones en una prueba de conocimiento (Y) de 50 estudiantes:

N° de estudiante X Y N° de estudiante X Y

1 76 28 26 88 40

2 77 24 27 88 31

3 78 18 28 88 35

4 79 41 29 88 26

5 79 43 30 89 30

6 80 45 31 89 24

7 80 34 32 90 18

8 81 18 33 90 11

9 82 40 34 90 15

10 82 35 35 91 38

11 83 30 36 92 34

12 83 21 37 92 31

13 83 22 38 93 33

14 83 23 39 93 35

15 84 25 40 93 24

16 84 11 41 94 40

17 84 15 42 96 35

18 85 31 43 97 36

19 85 35 44 98 40

20 86 26 45 99 33

21 86 30 46 100 51

22 86 24 47 101 54

23 86 16 48 101 55

24 87 20 49 102 41

25 88 36 50 102 45

1) Elaborar una tabla de dos variables

2) Calcular el coeficiente de correlación

Solución:

1) En la tabla de frecuencias de dos variables, cada recuadro de esta tabla se llama una celda y corresponde a un par de intervalos, y el número indicado en cada celda se llama frecuencia de celda. Todos los totales indicados en la última fila y en la última columna se llaman totales marginales o frecuencias marginales, y corresponden, respectivamente, a las frecuencias de intervalo de las distribuciones de frecuencia separadas de la variable X y Y.

Para elaborar la tabla se recomienda:

- Agrupar las variables X y Y en un igual número de intervalos.

- Los intervalos de la variable X se ubican en la parte superior de manera horizontal (fila) y en orden ascendente.

- Los intervalos de la variable Y se ubican en la parte izquierda de manera vertical (columna) y en orden descendente.

Para elaborar los intervalos se procede a realizar los cálculos respectivos:

En la variable X:

En la variable Y:

Nota: Para la variable X se tomará un ancho de intervalo igual a 5 y para la variable Y un ancho de intervalo igual a 8 para obtener un número de intervalos igual a 6 para cada variable.

Contando las frecuencias de celda para cada par de intervalos de las variables X y Y se obtiene la siguiente tabla de frecuencias de dos variables:

Interpretación:

- El número 5 es la frecuencia de la celda correspondiente al par de intervalos 86-90 en Coeficiente Intelectual y 19-26 en Calificación obtenida en la prueba de conocimiento.

- El número 8 en la fila de fx es el total marginal o frecuencia marginal del intervalo 76-80 en Coeficiente Intelectual.

- El número 14 en la columna de fy es el total marginal o frecuencia marginal del intervalo 35-42 en Calificación obtenida en la prueba de conocimiento.

- El número 50 es total de frecuencias marginales y representa al número total de estudiantes.

2) Realizando los cálculos respectivos se obtiene la siguiente tabla:

Nota:

Los números de las esquinas de cada celda en la anterior tabla representan el producto f•dx•dy, así por ejemplo, para obtener el número el número -8 de los intervalos 76-80 en X y 43-50 en Y se obtiene multiplicando 2•(-2)•(2) = -8. Para obtener el número 6 de los intervalos 96-100 en X y 51-58 en Y se obtiene multiplicando 1•2•3 = 6.

Los números de la última columna (24, -2, 7, 0, 5 y 12) se obtienen sumando los números de las esquinas en cada fila, así por ejemplo, para obtener el número 24 se suma 6 + 18 = 24.

Los números de la última fila (0, 5, 0, 2, 12 y 27) se obtienen sumando los números de las esquinas en cada columna, así por ejemplo,

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