Avanzadas

Ejercicios a resolver:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que

revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir

todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.

1. Determina la distancia entre los puntos A y B de cada uno de los incisos

a. A(2,3,7) y B(3,2,0)

b. A(1,0,3) y B(7,5,8)

c. A(3,3,3) y B(5,8,2)

d. A(2,4,6) y B(1,3,8)

2. Demuestre matemáticamente que la distancia entre el punto A y B es igual que

la distancia entre el punto B y A. ¿Por qué? Justifica tu respuesta.

A(1,3,3) y B(3,3,1)

3. Realiza las operaciones indicadas para cada uno de los siguientes vectores:

A(2,4,7) ; B(3,1,4) ; C (5,3,1) ; D(6,1,3)

a. A+B

b. B+C

c. A+C

d. C+D

e. DB

f. C3 A

g. 3 B2 D

h. − 2 A−

1

2

D

i. A+B2C1

3

D

4. Realiza las operaciones indicadas y representa el resultado utilizando los

vectores unitarios canónicos. A(2,1,3) ; B(2,1,5) ; C(2,3,1)

a. 3 A2 B

b. C3 A

c. 2C+ 2

3

B

5. Considera los siguientes puntos P(5,2,3) ; Q(1,6,2) . Encuentra el valor

del punto R para que se cumplan las siguientes condiciones:

a. V PQ= 2V PR

b. 3V PQ= − V PR

6. Determina el ángulo entre los vectores de cada uno de los siguientes vectores

a. u= − 3i− 2 j− 4 k ; v= 5 i− j3 k

b. u= 2i3 j8k ;v= i4 j− 7 k

c. u= 3 i4 j6k ; v= 2 i− 3 j2k

7. Determina la proyección de:

a. u= 5 i− 3 jk sobre v= i2 j3 k

b. u=2

3

i+ j1

3

k sobre v= 5i –

7

4

j7 k

c. u=5

4

i+2 j3 k sobre v= 7 i− 3 j6 k

8. Determina el producto cruz que se indica para cada par de vectores:

a. u= − 2 i3 j4 k y v= 7i− 5 j− 2 k

• u× v

• v× u

b. u= 5 i4 j2 k y v= 3i− j8 k

• u× v

• v× u

c. u= − i− 4 j− 6k y v= − 5 i3 j− k

• u× v

Procedimientos:

1.-

Para calcular la distancia |PQ| entre dos puntos Px1, y1, z1 y Qx2, y2, z2 se

utiliza la siguiente fórmula

PQ=x2− x12 y 2− y12 z 2− z12

(1)

a. Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en la fórmula 1 tenemos

que la distancia entre los puntos A y B es

∣AB∣=√(3(2))2+(23)2+(07)2=√52+(5)2+(7)2=√25+25+49

∣AB∣=√99

b. Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en la fórmula 1 tenemos

que la distancia entre los puntos A y B es

∣AB∣=√(71)2+(50)2+(8(3))2=√(8)2+52+112=√64+25+121

∣AB∣=√210

c. Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en la fórmula 1 tenemos

que la distancia entre los puntos A y B es

∣AB∣=√(53)2+(83)2+(23)2=√(8)2+52+(1)2=√64+25+1

∣AB∣=√90

d. Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en la fórmula 1

tenemos que la distancia entre los puntos A y B es

∣AB∣=√(12)2+(3(4))2+(86)2=√(3)2+72+(14)2=√9+49+196

∣AB∣=√230

2.-

Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en la fórmula 1 tenemos que

la distancia entre los puntos A y B es

∣AB∣=√(31)2+(33)2+(1(3))2=√(4)2+02+42=√16+0+16

∣AB∣=√32

Sustituyendo las coordenadas de los puntos B y A en la fórmula 1 tenemos que

la distancia entre los puntos B y A es

∣BA∣=√(1(3))2+(33)2+(31)2=√42+02+(4)2=√16+0+16

∣BA∣=√32

vemos que

AB=BA

sucede así porque distancia entre dos puntos es función de los cuadrados de la

diferencia de cada una de las componentes de los puntos.

3.-

a. Sumando los vectores componente a componente

AB= − 23,4− 1,− 74

obtenemos

AB= 1,3,− 3

b. Sumando los vectores componente a componente BC= 3− 5,− 1− 3,4− 1

obtenemos

BC= − 2,− 4,3

c. Sumando los vectores componente a componente

A+C=(25,43,71)

obtenemos

A+C=(7,1,8)

d. Sumando los vectores componente a componente

C+D=(5+6,3+1,1+3)

obtenemos

C D= 1,− 2,2

e. Restando los vectores componente a componente

D− B= 6− 3,1−− 1,3− 4

obtenemos

DB=(3,2,1)

f. Multiplicando los vectores por los factores adecuados y restando componente

a componente

C3 A=(53(2) ,33(4) ,13(7))=(5+6,312,1+21)

obtenemos

C3 A=(1,15,20)

g. Multiplicando los vectores por los factores adecuados y restando

componente a componente

3 B2 D=(3(3)2(6) , 3(1)2(1) ,3(4)2(3))=(912,32,126)

obtenemos

3 B2 D=(3,5,6)

h. Multiplicando los vectores por los factores adecuados y restando

componente a componente

2 A1

2

D=(2(2)1

2

(6) ,2(4)1

2

(1) ,2(7)1

2

(3))=(43,81

2

,143

2

)

obtenemos

2 A1

2

D=(1,17

2

,

25

2

)

i. A+B2C1

3

D

sabemos por el inciso a)

A+B=(1,3,3)

necesitamos calcular 2C1

3

D

2C1

3

D=(2(5)1

3

(6) ,2(3)1

3

(1) ,2(1)1

3

(3))=(102,61

3

...