Matematicas Avanzadas II

Ejercicios a resolver:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que revises y

comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el procedimiento

necesario para llegar a la respuesta.

1.Encuentra el valor de convergencia de las siguientes series:

a. Σn

=1

∞ 2n(x5)n

8n5

b. Σn

=0

∞

( 1

4

)

n

(x+2)n

c. Σn

=0

∞

n5(x4)n

2.Determina si las siguientes series son convergentes o no.

a.

2n

n2 xn

b. ( 2n

x2 ) xn

c. 7xn !

3.Calcula el desarrollo en series de potencias de las siguientes funciones (utiliza

derivadas):

Profesional

Práctica de ejercicios

a. y= 1

1+2x3

b. y=cos 4x

c. y=e8x

4. Resuelve las ecuaciones diferenciales utilizando el método de series de potencia

a. y ' ' +3xy' +(2x2+6) y=0

b. y ' ' – 4xy ' +(3x2 – 8) y=0

c. y ' ' +3xy' +5y=0

5. Obtén la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a. f (t )=Sen4t +e3t

b. f (t )=e3t

c. f (t )=t5+e2t

6. Aplica la transformada inversa de Laplace para las siguientes funciones:

a. H (s)=

7(3s+1)

(s3)(s2+10s13)

b. H ( s)=

6(s+2)

s3( s5)

c. H ( s)= s

( s+2)

Procedimientos:

1.

a) Σn

=1

∞ 2n(x5)n

8n5

Profesional

Práctica de ejercicios

Conocemos que una suma como Σn

=1

∞

an= 1

1a , tendrá a<1 siempre.

Así, no se puede resolver la sumatoria.

b) Σn

=0

∞

( 1

4

)

n

(x+2)n

Conocemos que una suma como Σn

=1

∞

an= 1

1a , tendrá a<1 siempre.

Así: a=

( x+2)

4 , pasamos a sustituir esto y obtenemos:

Σn

=1

∞

( 1

4

)

n

( x+2)n= 4

x2

pero como a<1 → a=

( x+2)

4

<1

así:

x<2

c) Σn

=0

∞

n5(x4)n

Conocemos que una suma como Σn

=1

∞

an= 1

1a , tendrá a<1 siempre.

Así, no se puede resolver esta sumatoria.

2.

a)

2n

n2 xn

Conocemos que una serie converge tiene un limite menor a uno, así identificamos lo necesario

para la resolución del ejercicio:

cn=( 2n

n2 )

así:

Profesional

Práctica de ejercicios

∣x∣limn→∞∣ 2n2

(n+1)2∣ → ∣x∣(2) pero como L<1

Converge cuando x esta en el rango:

1

2

< x< 1

2

.

b) ( 2n

x2 ) xn

Conocemos que una serie converge tiene un limite menor a uno, así identificamos lo necesario

para la resolución del ejercicio:

cn=( 2n

x2 ) xn

así

∣x∣limn→∞∣2(n+1)

2n ∣ → ∣x∣(1) pero como L<1

Converge cuando x esta en el rango:

1< x<1

c) 7xn !

Conocemos que una serie converge tiene un limite menor a uno, así identificamos lo necesario

para la resolución del ejercicio:

cn=7xn

así:

limn→∞∣x∣ → x pero como L<1

Converge cuando x esta es

x<1

3.

Profesional

Práctica de ejercicios

a) y= 1

1+2x3

Conocemos que la serie de Taylor trabaja con derivadas y como en la instrucción nos piden

resolverlo por medio de derivadas utilizamos este método:

f (x )=Σn

=0

∞ f n(a)

n!

( xa )n

Así, hallamos la primera y segunda derivadas

y '= 6x2

(1+2x3 )2

y ' '= 72x4

(1+2x3)3 12x

(1+2x3)2

Sustituimos x=1 , por fácil resolución y obtenemos:

y= 1

1+2x3=1

3

y '= 6x2

(1+2x3)2=2

3

y '= 72x4

(1+2x3)3 12x

(1+2x3)2=4

3

así:

1

1+2x3=1

3

2

3

(x1)+ 4

3(2 !)

(x1)2 ...

b) y=cos 4x

Conocemos que la serie de Taylor trabaja con derivadas y como en la instrucción nos piden

resolverlo por medio de derivadas utilizamos este método:

f (x )=Σn

=0

∞ f n(a)

n !

( xa )n

Así, hallamos la primera y segunda derivadas:

y '=4 sen(4x)

y ' '=16 cos(4x)

Sustituimos x=0 , por fácil resolución y obtenemos:

Profesional

Práctica de ejercicios

y=1

y '=0

y ' '=16

así:

cos x=1+0( x – 0)–

16

2!

(x0)2 ... óó cos x=1– 8x2 ...

c) y=e8x

Conocemos que la serie de Taylor trabaja con derivadas y como en la instrucción nos piden

resolverlo por medio de derivadas utilizamos este método:

f (x )=Σn

=0

∞ f n(a)

n !

( xa )n

Así, hallamos la primera y segunda derivadas:

y '=8 e8x

y ' '=64 e8x

Sustituimos x=0 , por fácil resolución y obtenemos:

y=1

y '=8

y ' '=64

así:

e2x=1 –8( x0)+ 64

2!

( x0)2

ó e2x=18x+32x2 ...

4.

a) y ' ' +3xy' +(2x2+6) y=0

Primero obtenemos las derivadas en forma de sumatoria:

y (x )=Σn

=0

∞

cn xn

y ' ( x)=Σ

n =0

∞

ncn xn1

...