Matematica II

PRACTICA CALIFICADA 04--MATEMATICA II-UNIDAD I-2013-2

Alumno : Alca Campos, Fabián Erick

Código : 2010038922

EPIC - II Ciclo – Grupo “A”

1. ∫▒〖e^x cos⁡〖(2e^x+1)〗 dx〗

Solución

u=2e^x+1⟹du=2e^x dx⟹du/2=e^x dx

∫▒〖e^x cos⁡〖(2e^x+1)〗 dx〗=∫▒〖cos⁡〖(2e^x+1)〗 e^x dx〗=∫▒〖cos⁡〖(u)〗 du/2〗=sin⁡u/2+C=sin⁡〖(2e^x+1)〗/2+C

∴ ∫▒〖e^x cos⁡〖(2e^x+1)〗 dx〗=sin⁡〖(2e^x+1)〗/2+C

2. ∫▒〖〖ctg〗^2 x . 〖csc〗^4 〗 x dx

Solución

∫▒〖〖ctg〗^2 x . 〖csc〗^4 x〗 dx=∫▒〖〖ctg〗^2 x . 〖csc〗^2 x. 〖csc〗^2 x〗 dx=∫▒〖〖ctg〗^2 x(1+〖ctg〗^2 x) 〖csc〗^2 x dx〗

=∫▒〖〖ctg〗^2 x .〖csc〗^2 x dx+∫▒〖〖ctg〗^4 x.〖csc〗^2 x dx〗 〗

Usaremos cambio de variable:

u=ctgx⟹du=-〖csc〗^2 x dx

Reemplazando en la integral tenemos:

=-∫▒〖〖ctg〗^2 x .(-〖csc〗^2 x dx)+(-1) ∫▒〖〖ctg〗^4 x.(-〖csc〗^2 x dx) 〗 〗=-∫▒〖u^2 du〗-∫▒〖u^4 du〗

=-u^3/3-u^5/5+C=-(〖ctg〗^3 x )/3-(〖ctg〗^5 x )/5+C

∴∫▒〖〖ctg〗^2 x . 〖csc〗^4 〗 x dx=-(〖ctg〗^3 x )/3-(〖ctg〗^5 x )/5+C

3. ∫▒xdx/√(3-2x-x^2 )

Solución

Haremos un cambio de variable:

u^2=-x^2-2x+3⟹2udu=(-2x-2)dx⟹-udu=(x+1)dx

∫▒xdx/√(3-2x-x^2 )=∫▒(x+1)dx/√(3-2x-x^2 )-∫▒dx/√(3-2x-x^2 )=∫▒(-udu)/√(u^2 )-∫▒dx/√(4-(x+1)^2 )

=-∫▒udu/u-∫▒dx/√(4-(x+1)^2 )=-∫▒du-∫▒dx/√((2)^2-(x+1)^2 )

=-√(3-2x-x^2 )-arcsen((x+1)/2)+C

∴∫▒xdx/√(3-2x-x^2 )=-√(3-2x-x^2 )-arcsen((x+1)/2)+C

4. ∫▒〖x^3 √(3&x+4) dx〗

Solución

Cambio de variable:

z^3=x+4⟹3z^2 dz=dx

∫▒〖x^3 ∛(x+4) dx〗=∫▒〖(z^3-4)^3 ∛(z^3 ) 3z^2 dz〗= ∫▒〖[z^9-12z^6+48z^3-64]3z^3 dx〗

∫▒[3z^12-36z^9+144z^6-192z^6 ]dz=(3z^13)/13-(36z^10)/10+(144z^7)/7-(192z^4)/4+C

=(3(x+4)^(13/3))/13-(18(x+4)^(10/3))/5+(144(x+4)^(7/3))/7-48(x+4)^(4/3)+C

∴∫▒〖x^3 ∛(x+4) dx〗=(3(x+4)^(13/3))/13-(18(x+4)^(10/3))/5+(144(x+4)^(7/3))/7-48(x+4)^(4/3)+C

5. ∫▒〖x ln⁡√(x+2) dx〗

Solución

Resolveremos este ejercicio por integración por partes:

{█( u=ln⁡√(x+2)⟹du=dx/(2(x+1))@dv=x dx⟹v=x^2/2)┤

⟹∫▒〖x ln⁡√(x+2) dx〗=uv-∫▒〖v du〗=(x^2 ln⁡√(x+2))/2-∫▒〖x^2/2 [dx/2(x+1) ] 〗

=(x^2 ln⁡√(x+2))/2-1/4 ∫▒(x^2 dx)/((x+1) )=(x^2 ln⁡√(x+2))/2-1/4 [∫▒〖(x-2)+4/(x+2)〗]dx

=(x^2 ln⁡√(x+2))/2-1/4 (x^2/2-2x+4 ln⁡|x+2| )+C=(x^2 ln⁡√(x+2))/2-x^2/8+x/2-ln⁡|x+2|+C

∴∫▒〖x ln⁡√(x+2) dx〗=(x^2

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