Matemáticas II

EJERCICIO:

Calcule la siguiente función a trozos:

Lo primero es hallar las ecuaciones de cada trozo, de tal manera que identificamos cada trozo, dentro de las que tenemos una recta, una parábola y una constante

Una vez identificados los trozos de la función dada, procederemos entonces a calcular cada trozo por separado. Veamos:

Trozo 1: Una recta.

La manera de calcular esta recta en mediante la función f(x)=mx+b, para los dos puntos que tenemos P_1 (-1,0) y P_2 (0,1), así pues procedemos, primero a hallar la pendiente:

m=∆y/∆x=(y_(2-) y_1)/(x_(2-) x_1 )

m=(1-0)/(0-(-1))=1/1

▭(m=1)

Procedemos ahora si a utilizar la ecuación f(x)=mx+b, para hallar b, teniendo los puntos x y y

y=mx+b

1=1(-1)+b

1=0+b

1=b

Dicho esto sabemos entonces, ya tenemos los puntos b y m, por lo tanto procedemos a hallar la ecuación dela recta

y=mx+b

y=1(x)+1

▭(y=x+1)

Trozo 2: La Parábola.

Este trozo va a tener una ecuación de la forma: f(x)=ax^2+bx+c A partir de la información de la gráfica hallamos la ecuación de la siguiente forma: 〖(x-h)〗^2=4p(y-k) identificamos el punto (1,0) como punto (h,k) y reemplazamos tomando como referencia el punto de la gráfica (x,y) el punto (0,1), con el fin de hallar el punto p:

〖(0-h)〗^2=4p(1-k)

〖-h〗^2=4p(1-k)

〖-1〗^2=4p(1-0)

1=4p(1)

1=4p

▭(p=1/4)

Conociendo ahora p hallamos entonces la ecuación:

〖(x-h)〗^2=4(1/4)(y-k)

〖(x-1)〗^2=4(1/4)(y-0)

〖(x-1)〗^2=1(y-0)

〖(x-1)〗^2=y-0

▭(〖(x-1)〗^2=y)

Trozo 3: La constante.

Para este caso como tenemos una constante que sin importar su valor en el eje x siempre será 4 en el eje y, entonces podemos decir que ▭(f(x)=4)

Haciendo un recuento, tenemos que la función está dividida en 3 trozos:

Una recta: f(x)=x+1

Una Parábola: f(x)=(〖x-1)〗^2

Una constante: f(x)=4

Hallar la integral en todo su dominio.

Para hallar el área bajo la curva identificamos las áreas que conforman la función.

Ahora hallamos el área bajo la curva integrando las ecuaciones halladas en el punto anterior de cada una de las áreas que determinamos:

Una recta: f(x)=x+1

∫_(-1)^0▒(x+1) □(24&dx)

=∫_(-1)^0▒x □(24&dx+ ∫_(-1)^0▒〖1□(24&dx)〗)

▭(=├ x^2/2+x┤| 0¦(-1))

Como ya tenemos definidos los límites definidos procedemos entonces a reemplazar

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