Ejemplo resueltos Nº1 Estadística II

Ejemplo resueltos  Nº1        Estadística II

Profesora: Daniela Zúñiga

Ejemplo  1

Supón que 15.000 personas de una ciudad con 500.000 habitantes están viendo cierto programa de televisión. Si se entrevistan a una muestra aleatoria simple de 200 personas de la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que menos de cuatro personas estén viendo el programa?

1. Calcula la probabilidad exacta.
2. Utiliza la aproximación del TLC.

Solución

Sean las variables aleatorias,  X1, X2, . . . , X200,   donde, Xi = 1 si en la i-ésima extracción, la persona seleccionada está viendo el programa,  0 si no.  Dado que se dice que es una muestra aleatoria, las variables anteriores, deben ser independientes  (es decir las extracciones son con reemplazo) con la misma distribución  Bernoulli, Xi  ∼ B(π), donde π =  proporción en el universo de las 500.000 personas que están viendo el programa = 15.000/500.000 = 0,03.    

Se pide Pr[X1  +X2 +. . . + X200  < 4 ]  =  Pr[X1  +X2 +. . . + X200   ≤ 3 ].

a)   Dado que, X1  +X2 +. . . + X200  ∼ B( n= 200; π =  0,03 ), la probabilidad exacta es  p(0)+ p(1) + p(2) +p(3), donde:

[pic 1]  .

Resulta    Pr[X1  +X2 +. . . + X200   ≤ 3 ] = 0,1472.

b) Usando el TLC, P=[pic 2]  podemos obtener la probabilidad aproximada:

Pr[X1  +X2 +. . . + X200   ≤ 3 ] = Pr[[pic 3]≤ 3/200 = 0,015) ≈  φ( ( 0,015 –0,03) / 0,0121 ) = φ( ( – 1,24) = 0,1075.

Con la corrección por continuidad, resulta una aproximación mejor:

Pr[[pic 4]≤ (3 + 0,5)/200 = 0,0157) ≈  φ( ( 0,0175 –0,03) / 0,0121 ) = φ( ( – 1,03) = 0,151.

Ejemplo  2

Un sondeo pregunta a una muestra aleatoria simple con reemplazo de 1.100 adultos varones, “¿juegas fútbol?”  Supón que el  12% de todos los adultos varones de Santiago juegan fútbol.

1. Halla la media y error estándar del estadístico: P = proporción de personas en la muestra que juega fútbol.
2. ¿Cuál es la distribución aproximada de P?
3. Halla la probabilidad de que entre el 10% y 14% de la muestra juegue fútbol.
4. ¿Qué tamaño de muestra se precisaría para reducir el error estándar de la proporción muestral a la mitad del valor que hallaste en a)?

Solución

1. P = proporción en la muestra de varones que juegan fútbol.   E(P)  = π =0,12;  Error estándar de P = ee(P) = Raiz(π (1-π )/1100) = Raiz(0,12 (1- 0,12 )/1100) = 0,010.  

1. Por el TLC, para n = 1100, P tiene una distribución aproximadamente normal con media 0,12 y varianza (0,010) 2.

1. De b),   Pr(0,10 < P < 0,14) = φ( (0,14-0,12)/0,010 ) - φ( (0,10–0,12)/0,010 ) = φ( 2,00 ) - φ( -2,00 ) = 0,9772 – 0,0228 =  0,9544.
3. Se busca n tal que ee(P) = Raiz(0,12 (1-0,12 )/n) = 0,010/2 = 0,005.  Despejando se obtiene, n = 4.224 varones adultos.

 Ejemplo  3

Una compañía de TV por cable que da servicio a 1.200.000 hogares, aplica una encuesta a una muestra aleatoria simple de 100 hogares. El número medio de horas que los hogares de la muestra utilizan el servicio resultó 3,8 horas diarias con una desviación estándar de 2,11.

La compañía cree que el número medio de horas al día que utilizan el servicio los 1.200.000 hogares es  4,5 y la desviación estándar 2,00.  Suponiendo que la compañía tiene razón, se pide:

1. Encuentra la distribución del promedio de horas al día en una muestra aleatoria simple de 100 hogares.  Explica cómo se interpreta la distribución anterior y la relación con el valor 3,8.

1. Calcula la probabilidad de que el promedio de horas del servicio utilizada por los hogares, en una muestra aleatoria simple 100 hogares, resulte menor que 4,0 horas.

Solución

a)   Por el TLC la distribución  de  [pic 5]  es, [pic 6]   dado que  n = 100 > 30,  μ = 4,5; σ2  = (2,00)2 = 4,00.

La distribución anterior, representa el histograma de frecuencias del n° de horas promedio  [pic 7], en infinitas muestras aleatorias simples de n  =  100, seleccionadas desde la población de 1.200.000 hogares. El valor 3,8 es uno de los promedios anteriores.  

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