Formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado antiguo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo: si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

DETERMINACION DE CONJUNTOS:

Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión

I) POR EXTENSIÓN

Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplos:

A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.

A = {6; 8; 10; 12; 14; 16; 18

II) POR COMPRENSIÓN:

Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

Ejemplo:

P = { los números dígitos)

se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito

Ejemplo:

Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana.

• Por Extensión = {lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo}

• Por Comprensión: D = {x / x = día de la semana}

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION:

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A  B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A  B = { x/x  A ó x  B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }

A  B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

INTERSECCION:

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A  B, algebraicamente se escribe así:

A  B = { x/x  A y x  B }

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q  P ={ a, b, o, r, s, y }

CONJUNTO VACIO:

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo  .

Por ejemplo:

Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A  B.

A  B= { }

El resultado de A  B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A  B=

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprensión como:

A'={ x  U/x y x  A }

Ejemplo:

Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A  U

El complemento de A estará dado por:

A'= { 2, 4, 6, 8 }

DIFERENCIA:

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprensión como:

A - B={ x/x  A ; X  B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

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