Matemáticas Administrativas

Matrices y Determinantes

DIEGO EBENHEZER NUÑEZ VILLEGAS

Centro Universitario de Ciencias Económico-Administrativas

I5326: Matemáticas Administrativas

Miguel Abraham Macias Aceves

18 de octubre de 2022

1. Matrices, tipos de matrices, operaciones con matrices

Con base en el libro Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la vida en su quinta edición publicado en el año 2012, una matriz es un acomodo rectangular de números reales. Dicho así las entradas de un renglón se conocen como “renglón de la matriz” mientras que a las entradas de la columna se le conoce como “columna de la matriz”. Para comprender mejor dichos casos véase la siguiente matriz:

Ésta matriz tiene dos renglones y tiene tres columnas, tal cual como se muestra. [pic 1]

Las dimensiones de las matrices se describen en los mismos términos de los renglones y columnas, Por ejemplo, en la matriz anterior sabemos que tiene dos renglones y tres columnas, se determina que la dimensión es 2 por 3 y se señala 2 × 3. Por lo tanto, se nos presenta que para una matriz con “m” renglones y con “n” columnas es de dimensión m × n. de acuerdo con el libro “La entrada en el renglón i-ésimo y la columna j-ésima de una matriz A se denota por aij.”

• Matriz fila: matriz cuya dimensión es 1× n (un reglón y n columnas)

[pic 2]

• Matriz columna: matriz con m renglones y una columna (m × 1)

[pic 3]

• Matriz cuadrada: matriz que tiene mismo número de renglones como columnas (n renglones y n columnas)[pic 4]

[pic 5]                                            [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

• Matriz simetrica: una matriz simétrica es una matriz cuadrada y es idéntica a la matriz de después de haber cambiado las filas por columnas y las columnas por filas. Sus elementos de la diagonal principal son cero.

[pic 10]

• Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada de orden n donde los números en el reglón i y columna j son igual en dimensión a los números en el renglón j y columna i, pero esta vez sus signos son contrarios. De igual forma elementos de su diagonal principal son cero.       [pic 11]
• Matriz nula: matriz donde todos sus números son nulos, es decir cero. [pic 12]
• Matriz diagonal: matriz cuyos números fuera de la diagonal principal son nulos. [pic 13]
• Matriz escalar: ésta matriz es una matriz escalar pero cuyos números en la diagonal principal son iguales. 

 [pic 14]

• Matriz unidad: ésta matriz es una matriz escalar pero cuyos números en la diagonal principal son 1.

[pic 15]

• Matriz triangular superior: matriz cuyos números por debajo de la diagonal principal son iguales a cero. 
• Matriz triangular inferior: matriz cuyos números por arriba de la diagonal principal son iguales a cero. 

Operaciones con matrices

Transpuesta de matrices: la matriz transpuesta es el resultado del reacomodar la matriz original(A) a través de un cambio de renglones por columnas dando como resultado la matriz transpuesta y se señala [pic 16]

En la matriz transpuesta los renglones pasan a ser las nuevas columnas y las columnas pasan a ser los nuevos renglones [pic 17]

Suma y resta de matrices: para la suma y resta de una matriz simplemente para que se pueda dar dichas acciones las dos matrices (matriz A y matriz B) deben ser de la misma dimensión

Otra de las condiciones es que se sume o se reste los términos correspondientes a su posición.  [pic 18]

Producto de un numero por una matriz: el resultado de un numero por una matriz es otra matriz cuya condición fue multiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el número.  y K (número real) [pic 19][pic 20]

La matriz resultante es de misma dimensión, como ya sabemos mismo número de renglones y de columnas [pic 22][pic 21]

Producto de matrices: para poder multiplicar una matriz A con una matriz B, deben tener el mismo número de renglones en la matriz A con el número de columnas en la matriz B

Entonces para calcular el producto de  la dimensión de A debe ser  y la de b debe ser  y el producto va a ser una matriz de dimensión . El proceso es el que se muestra.[pic 27][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Potencia de una matriz: en este caso solo se puede calcular las potencias de matrices cuando estas son cuadradas. Sabiendo la matriz es cuadrada y se puede calcular la potencia de la matriz, es el mismo proceso que el producto de una matriz.

 Es decir, la potencia de es el producto de matrices .[pic 28][pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Matriz inversa: en términos generales la inversa de una matriz es la matriz que cuando se multiplica por la matriz original su resultado va a ser la matriz identidad I. esta matriz inversa nos es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales, por lo tanto, es muy importante saberla usar.

Derivado de todo los conceptos y procesos sobre las matrices y sus operaciones se nos viene a la mente sobre ¿Cuál es el uso de las matrices? y es que muchos de los problemas se resuelven por medio del uso de las operaciones. Y es que al organizarse como corresponden los datos, se puede llevar a cabo determinadas operaciones para resolver el problema de manera adecuada y eficiente. Pero eso no es todo gracias a este sistema podemos tener ayuda de la tecnología para que sea más fácil el proceso y respuesta.

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