Oscilaciones amortiguadas

Oscilaciones amortiguadas

En el caso de los osciladores reales es inevitable que parte de su energía se disipe debido a fuerzas de origen "viscoso", es decir fuerzas que (en el límite lineal que estamos estudiando) sean proporcionales a la velocidad del oscilador es decir a la derivada primera de espacio respecto del tiempo. Así, la ecuación diferencial que representa el movimiento de un oscilador real (para pequeños desplazamientos respecto de su posición de equilibrio):

dx2 / dt2+ b dx / dt +w2x = 0

la solución de esta ecuación contiene un factor que da cuenta de la disminución de la amplitud con el tiempo, de manera que su solución x(t) es:

x(t) = A o e -(b / 2 m) t cos(w' t + f)

donde

w' =wo[1 -(b / 2mwo)2]½

de manera que la energía total del oscilador puede escribirse ahora como:

Etotal = ½ k A o2 e -(b / m) t

Oscilaciones forzadas y resonancia

Siempre es posible "forzar" todo oscilador mediante una fuerza externa que sea función del tiempo. Supongamos que esta fuerza es periódica de periodo Text, es decir

dx2 / dt2+ b dx / dt +w2x = Fmaxcos(wextt)

Bajo la acción de esta fuerza, la amplitud de las oscilaciones resultantes, es ahora una función de la frecuencia de forzado wext, y tendrá un máximo cuando la la frecuencia del forzado sea igual a la frecuencia propia o natural del oscilador. A este fenómeno se lo conoce con el nombre de resonancia.

- Definición

La energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo, como resultado de la fuerza disipativa. Es posible compensar esta pérdida de energía aplicando una fuerza externa que suministre la energía disipada realizando un trabajo positivo sobre el sistema. En cualquier instante, es posible agregar energía al sistema por medio de una fuerza aplicada que actúe en la dirección del movimiento del oscilador.

el oscilador forzado, está sometido a una fuerza restauradora y a una fuerza externa (fuerza impulsora) que varía armónicamente con el tiempo cuya expresión obedece a una del tipo:

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en donde Fo es constante y

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Fo cos w t obedece entonces a la ecuación del movimiento dada por

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o sea

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en donde hemos puesto y

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La solución de la ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La parte transitoria de la solución es idéntica a la de un oscilador amortiguado no forzado dada por

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Las constantes de esta solución, A y , dependen de las condiciones iniciales. Transcurrido cierto tiempo, esta parte de la solución se hace despreciable porque la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. De este modo sólo queda la solución estacionaria, que no depende de las condiciones iniciales y que se puede escribir como

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en donde la frecuencia angular w es la misma que la de la fuerza impulsora.

La amplitud A viene dada por

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y la constante de fase d por

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Observando las ecuaciones podemos ver que el desplazamiento del sistema y la fuerza impulsora oscilan con la misma frecuencia pero difieren en fase en d .

El signo negativo de la fase se ha introducido para que la constante de fase d sea positiva.

Resonancia

La amplitud y, por tanto, la energía de un sistema en estado estacionario, depende no sólo de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia.

Se define la frecuencia natural de un oscilador como la que tendría si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor.

El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia impulsora es igual (o aproximadamente igual) a la frecuencia natural del sistema, es decir, w = w o. En esta situación d = p /2.

En esta imagen se observa una gráfica que representa la amplitud frente a la frecuencia de un oscilador amortiguado cuando se encuentra presente una fuerza impulsora periódica. Cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural, w o, aparece la resonancia. Se observa que la forma de la curva de resonancia depende del valor del coeficiente de amortiguamiento, b.

La cantidad media de energía absorbida en un ciclo es igual a la potencia media producida por la fuerza impulsora. En la figura se muestra un diagrama de la potencia media transmitida a un oscilador en función de la frecuencia de la fuerza impulsora o externa para dos valores diferentes de amortiguamiento (y por tanto de Q).

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Estas curvas reciben el nombre de curvas de resonancia. Cuando el

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