Valoración de opciones sobre acciones: El modelo Black-Scholes

Capitulo 11: Valoración de opciones sobre acciones: El modelo Black-Scholes

Este modelo ha tenido una enorme influencia en la forma en la que los operadores del mercado valoran y realizan coberturas con opciones. En este capítulo, se presenta este modelo para la valoración de opciones Europeas de compra y de venta sobre acciones que no pagan dividendos y se comentan los supuesto sobre los que se basa.

11.1. Supuestos sobre la evolución de los precios de las acciones.

Si el precio actual de unas acciones es de 100 dólares, ¿Cuál es la distribución de probabilidad para el precio dentro de un día, de una semana, o de un año?. El supuesto subyacente al modelo de Black-Scholes es que (en ausencia de dividendos) el precio de las acciones sigue un paseo aleatorio (random walk). Esto significa que los cambios porcentuales en el precio de las acciones en un período corto de tiempo siguen una distribución normal.

Definimos: μ: El rendimiento esperado de las acciones

σ: La volatilidad del precio de las acciones

11.2. Tasa de rentabilidad esperada.

La tasa de rentabilidad esperada, μ, que requiere un inversor en acciones depende del riesgo de éstas. A mayor riesgo, mayor rendimiento. También depende del nivel de tipos de interés en la economía. A mayor tipo de interés libre de riesgo, mayor es la tasa de rentabilidad esperada que se pide a cualquier acción. Afortunadamente, no tenemos que preocuparnos de los determinantes de μ. Esto es porque el valor de una opción sobre acciones, cuando se expresa en términos de las acciones subyacentes, no depende de μ.

11.3. Volatilidad.

La volatilidad de unas acciones, σ, es una medida de nuestra incertidumbre sobre los rendimientos proporcionados por las mismas. Las acciones de la vieja economía suelen tener una volatilidad entre 20 y 40 por ciento. Las acciones de la nueva economía suelen tener una volatilidad entre 40 y 60 por ciento.

La ecuación que se verá en 11.4. sugiere que la volatilidad del precio de unas acciones puede ser definida como la desviación estándar del rendimiento proporcionado por las acciones en un año cuando el rendimiento se expresa utilizando la composición continua.

11.4. Estimación de la volatilidad mediante datos históricos.

Para estimar la volatilidad se puede utilizar un registro de los movimientos del precio de las acciones. El precio de las acciones se suele observar en intervalos fijos de tiempo (por ejemplo, cada día, cada semana, o cada mes )

Definimos n + 1: número de observaciones

Si: Precio de las acciones al final del intervalo i ( i = 0, 1, ..., n )

τ: Duración del intervalo de tiempo en años

y hagamos

υi = ln ( Si / Si-1 )

El anterior análisis considera que las acciones no pagan dividendos. Puede adaptarse para acomodarse a acciones que pagan dividendos. El rendimiento υi durante un intervalo de tiempo que incluye un día ex-dividendo viene dado por:

υi = ln ( Si + D / Si - 1 )

donde D es el valor de los dividendos. El rendimiento en otros intervalos de tiempo continua siento

υi = ln ( Si / Si-1 )

Sin embargo, como los factores fiscales son importantes para determinar los rendimientos en las proximidades de una fecha ex-dividendo, es probable que lo mejor sea descartar el conjunto de fechas para intervalos que incluyan una fecha ex-dividendo cuando se usen datos diarios o semanales.

11.5. Supuestos del modelo Black-Scholes

Los supuestos hechos por Black y Scholes cuando derivaron su fórmula de valoración de opciones fueron los siguientes.

1.- El comportamiento del precio de las acciones corresponde al modelo lognormal desarrollado anteriormente en este capítulo con μ y σ constantes.

2.- No hay costes de transacción o impuestos. Todos los activos financieros son perfectamente divisibles.

3.- No hay dividendos sobre las acciones durante la vida de la opción.

4.- No hay oportunidades de arbitraje libres de riesgo.

5.- La negociación de valores financieros es continua.

6.- Los inversores pueden prestar o pedir prestado al mismo tipo de interés libre de riesgo.

7.- El tipo de interés libre de riesgo a corto placo, r, es constante.

Algunos de estos supuestos han sido modificados por otros investigadores. Por ejemplo, se pueden utilizar variaciones de la fórmula Black-Scholes cuando r y σ son funciones del tiempo y, como se ve en éste capítulo, la fórmula puede ajustarse para tener en cuenta los dividendos.

11.6. El análisis Black-Scholes / Merton

En ausencia de oportunidades de arbitraje, el rendimiento de la cartera debe ser el tipo de interés libre de riesgo, r. Esto nos lleva a una ecuación diferencial que debe ser satisfecha por la opción.

La razón por la que puede establecerse una cartera libre de riesgo es que el precio de las acciones y el precio de la opción están afectados por la misma fuente de incertidumbre: los

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