Análisis Matemático

Análisis Matemático

Integrales: Teorema de Fubini. Cálculo de áreas. Centro de masas.

INTEGRALES DOBLES

F: A ⊂ ℜ² → R S ⊂ A

∫∫ d F (x, y) dx dy

Interpretación geométrica en R3: Volumen debajo del grafico de F

Teorema de Fubini:

∫∫ 5 F (x, y) dx dy = [ F (x, y) dy ] dx = [ F (x, y) dx ] dy (Caso de limites bien definidos)

dy dx = dx dy

Propiedades:

1) Dadas F y G continuas en A ⊂ ℜ², y dada α y β∈ R:

∫∫ A (α F + β G) (x, y) dx dy = α ∫∫ A F (x, y) dx dy + β ∫∫ AG (x, y) dx dy

2) Dadas F y G continuas en A ⊂ ℜ² tales que F (x, y)≥ G (x, y),∀ (x, y) ∈ A:

∫∫ A F (x, y) dx dy ≥ ∫∫ A G (x, y) dx dy

Calculo de áreas: Area (A) = ∫∫ A dx dy

Ejemplo: Calcular el área de A ⊂ ℜ², limitada por las curvas y = e x, y = e -x, y = e ²

Area = ( dy) dx + ( dy) dx Obs: Donde se lee e2 es e ², e-x es e-x, y ex es ex.

Calculo de masas: Masa = ∫∫ A δ (x, y) dx dy donde δ (x, y) es la densidad superficial

Centro de masa:

X cm = (∫∫ A x δ (x, y) dx dy)/M Y cm = (∫∫ A y δ (x, y) dx dy)/M

Teorema: ∫∫ A F (x, y) dx dy = ∫∫ A+F (G (u, v)).|det D G| du dv obs: det DG ≠ 0 para formar un área.

INTEGRALES DOBLES

CAMBIO DE COORDENADAS EN LAS INTEGRALES DOBLES

De coordenadas cartesianas a polares:

Conviene cuando el dominio es circular para lograr límites de integración constantes.

1. Cambio de dominio: D→ D´

2. Cambio de función: f(x,y)→ f(r.cos θ,r.sen θ)

3. Cambio de elemento de área: dx.dy = r.d θ.dr

∫∫D f(x, y)dx.dy =∫∫D´ f(r.cos θ,r.sen θ)r.d θ.dr

Cálculo del área de un dominio:

De coordenadas cartesianas a curvilíneas:

Conviene para trasladar el dominio al eje de coordenadas y para redondearlo, luego proceder en polares si es que sirve.

Siendo:

x = x(u,v)

y = y(u,v)

Resulta:

∫∫D f(x, y)dx.dy =∫∫D´ f(x(u,v), y(u,v))|J(u, v)|du.dv

dx.dy→ |J(u, v)|du.dv

ó

siendo: x = r.cos θ → J(θ,r) = -r.sen θ cos θ = -r

y = r.sen θ r.cos θ sen θ

Resulta:

∫∫D f(x, y)dx.dy =∫∫D´ f(r.cos θ,r.sen θ)r.d θ.dr

VOLUMEN DE UN SOLIDO DE REVOLUCION

Para el dominio:

D = {(x, y): x1 ≤ x ≤ x2, α (x) ≤ y ≤ β(x)}

Alrededor del eje x:

BARICENTRO DE UN DOMINIO PLANO

Si: δ = δ (x, y)

El punto G = (xG, yG) es el baricentro, según:

xG = ∫∫Dx.δ(x,y).dx.dy

∫∫Dδ(x,y).dx.dy

yG = ∫∫Dy.δ(x,y).dx.dy

∫∫Dδ(x,y).dx.dy

Si δ es constante:

...