Análisis Matematico

1) Se tiene la función definida por z = f(x, y) en su dominio D, se pide definir la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario U=(a, b), fundamentando y apoyándose en el gráfico correspondiente, luego demuestre que dicha derivada puede expresarse como:

Duf(x, y) = afx(x, y) + bfy(x, y) (4p)

Dicha tg θ = (1)

Por construcción sabemos que PQ // U: PQ = hU luego //PQ// = /h/ //U// = /h/ = h

Como PQ = Q - P = (x-xo, y-yo):

Luego: x = xo+ ha e y = yo+hb

Por tanto zo = f(xo+ ha, yo+hb)

Reemplazando en (1): tg θ =

Luego la Derivada Direccional en P en la dirección del vector unitario U, sed define como:

Duf(xo, yo) =

Deducción de Duf(x, y) = afx(x, y) + bfy(x, y) (4p)

Definimos la función g(h) = f(xo+ ha, yo+hb), demodo que:

g´(0) = = Duf(xo, yo)

Calculamos g´(0), teniendo en cuenta que g(h) se puede expresar como:

G(h) = f( x, y) en donde x = xo + ha e y = yo + hb:

Por tanto: g´(h) =

Como se quiere g´(0), haciendo h = 0: x = xo e y = yo

Luego g´(0) =

Comparando: Duf(xo, yo) = lqqd.

2) Sea la función f(x, y, z) = e x+y+z y C la curva intersección de las superficies 2x+y+z = 2; 2x2 + y – z = 0. Se pide determinar la derivada de la función en el punto (0, 0, 0) y en la dirección del vector Normal Unitario a C en el punto P=(0, 1, 1). (4p)

Si

3) Sea P=(2, 1, 7) un punto que pertenece a la superficie S dada por z = x2 + xy + y2 , y L la recta tangente a S en P de mayor pendiente. Se pide: (4p)

a) La ecuación del plano M que contiene a L y es paralelo al vector normal a S en P.

Sabemos que todas las tangentes a S en P se encuentran en el plano tangente a S en P dicho plano queda definido por:

Luego:

La tangente de máxima pendiente se encontrara también en el plano M’ que esta definido por la recta luego el vector normal

b) La ecuación de L.

Como la tangente pedida es la , entonces el vector de dirección de la tangente A estará dada por , luego:

4) Sea la función F(u, v) = f( uv, (u2 + v2 ) / 2 . Demuestre que (4p)

a)

Tesis:

Esta función es equivalente a en donde

Elevando al cuadrado:

Sumando y factorizando:

No cumple

b) Luego determine

...