Formas Cuadráticas

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TEMA 7 (Ultima actualización 1/10/2003)

Formas Cuadráticas

1) Forma cuadrática en el Rn es toda expresión de la forma donde los coeficientes aij y las variables xi , xj toman valores reales y se verifica que aij = aji

Los coeficientes determinan una Matriz simétrica de orden n

M =

Recíprocamente cada Matriz cuadrada, simétrica de orden n está asociada a una forma cuadrática de orden n

2) Una forma cuadrática F se llama definida positiva , si F > 0 para todo sistemas de valores no simultáneamente nulos de las xi , xj variables

3) Una forma cuadrática F se llama definida negativa , si F < 0 para todo sistemas de valores no simultáneamente nulos de las xi , xj variables

4) Una forma cuadrática F se llama semidefinida positiva , si F  0 es decir se conserva positiva, anulándose solo para algún sistema de valores de las variables xi , xj

5) Una forma cuadrática F se llama semidefinida negativa , si F  0 es decir se conserva negativa, anulándose solo para algún sistema de valores de las variables xi , xj

6) Una forma cuadrática F se llama indefinida , si F toma valores positivos, nulos o negativos, para distintos sistemas de valores de las variables xi , xj.

Llamaremos H al determinante de la Matriz M de los coeficientes de la forma cuadrática

H = donde aij = aji

Al menor complementario de orden k < n extraído de H lo llamaremos Hk

Hk=

TEOREMA 1

Sea donde los coeficientes aij y las variables xi , xj toman valores reales y se verifica que aij = aji

La condición necesaria y suficiente para que F sea definida positiva es que Hk > 0 para k = 1..n

La condición necesaria y suficiente para que F sea definida negativa es que (-1)k Hk > 0 para k = 1..n En esta ultima expresión, para k = 1 (impar), Hk debe ser negativo, de lo contrario no se puede asegurar nada.

DEMOSTRACIÓN

Nos limitaremos a efectuar la demostración en el espacio R2

ya que a 1,2 = a 2,1 multiplicamos y dividimos la expresión por a 1,1 y en los dos primeros términos completamos el binomio cuadrado haciendo el siguiente artificio

En el espacio R2, H2 = y H1= a 1,1 y reemplazamos en F

Entonces si

F es definida positiva F es definida negativa

EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En éste tema se estudiará la teoría de máximos y mínimos relativos, (o locales), de funciones de varias variables independientes o bien relacionadas entre sí mediante ciertas condiciones adicionales, que al igual que para funciones de una variable independiente constituye una importante aplicación del cálculo diferencial, y en particular de la fórmula de Taylor. Veamos, entonces, los extremos libres en primer término.

EXTREMOS LIBRES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aquí denotaremos por y = f(x1,x2,x3,.....,xn) = f( ) una función de “n” variables independientes definida en un cierto subconjunto S de Rn , = (a1,a2,..., an) un punto de S y N = N( , r) un entorno del punto , de radio r > 0.

Definición 1: Se dice que y = f( ) tiene un máximo relativo o local en  S, si:

 r > 0 /   S N( , r) : f( )  f( )

Definición 2: Se dice que y = f( ) tiene un mínimo relativo o local en  S, si :

 r > 0 /   S N( , r) : f( )  f( )

Definición 3: Se dice que y = f( ) tiene un extremo absoluto o global en  S, si:

()   S : f( )  f( ) , o bien :

(II)   S : f( )  f( )

En el caso (), f( ) constituye el máximo absoluto de f , y en el caso (II) f( ) constituye el mínimo absoluto de f.

Nota: Los máximos y mínimos locales se denominan extremos relativos o locales. La palabra “relativo” (“local”) indica que se compara el valor de la función en el punto = con los valores que ella toma en una vecindad de dicho punto solamente. Así, una función con máximos y mínimos locales puede tomar valores mayores que sus máximos locales y menores que sus mínimos locales. Además, notemos también que una función y = f( ) puede tener varios máximos y mínimos locales, iguales o no entre sí. Estas últimas observaciones, para el caso de funciones de una variable, se justifican al considerar la siguiente figura.

y y = f(x)

a

Condiciones necesarias para la existencia de extremos locales de funciones derivables

Teorema: Sea y = f(x1, x2,......, xn) = f( ) una función definida en un recinto S (conjunto abierto y conexo de Rn) y derivable en un punto = (a1, a2,....., an)  S. Condición necesaria pero no suficiente para que f tome un valor extremo local en es que:

(1)

es decir que en ese punto se anulan todas las derivadas parciales de primer órden de f.

Demostración: Supongamos que y = f( ) toma un valor extremo local en el punto  S. Ahora consideremos las variables x2, x3,......, xn fijadas en los valores a2, a3,....., an respectivamente. En estas condiciones, resulta y = f(x1, a2, a3,...., an) = F(x1) una función de la única variable “x1”. Por otra parte, esta función F(x1) debe tener un extremo local en x1 = a1, como es obvio, y por ello, al ser F(x1) = f(x1, a2, a3,..., an) derivable en x1 = a1, debe ser

pero

Luego, resulta . En forma análoga se prueban las demás relaciones (1).

Ahora veamos que si se verifican las relaciones (1), pueden presentarse distintas situaciones en una vecindad del punto = .

Es decir, veamos que (1) no es una condición suficiente para garantizar la existencia de extremo de f(x) en = (como lo prueba el ejemplo 3).

Ejemplo 1:

Sea f(x,y) = 9 - x² - y²,  (x,y)  R². Las derivadas parciales de primer orden de f son

fx(x,y) = - 2x,

fy(x,y)

...