Analisis de un circuito RLC

INTRODUCCIÓN

El circuito RLC tiene características especiales que valen la pena estudiar para las aplicaciones donde necesitemos las respuestas que genera; al ser un circuito con dos elementos de almacenamiento de energía se describe mediante una ecuación diferencial de segundo orden, sabemos entonces que la solución de una ecuación diferencial de segundo orden se compone de la respuesta natural del circuito mas la respuesta forzada, en el presente trabajo analizaremos el circuito para encontrar la ecuación diferencial y luego hallaremos su respuesta natural y forzada, tenemos que para encontrar la respuesta forzada tenemos que hacer uso de la formula general para encontrar las raíces, de acuerdo a los valores de R, C y L vamos a tener que el discriminante de la formula general cambiara y dará tres tipos de raíces, de las cuales para cada una tendrá una respuesta; también se encontraran las constantes de acuerdo a las condiciones iniciales.

Se hace uso de las herramientas de software para ejemplificar y resolver los ejercicios, la cual son de mucha ayuda, debido a que con ello podremos conocer tiempos, amplitudes de voltaje y corriente y corroborar que el análisis esta bien.

Con el conocimiento adquirido podemos hacer uso de este circuito para las aplicaciones donde necesitemos las características que el circuito RLC tiene, es una herramienta mas que podemos utilizar en un futuro cuando lo necesitemos

OBJETIVO

• Analizar el circuito RLC serie para encontrar su respuesta natural y forzada e identificar los casos que pueden haber en la respuesta debido a la variación de los parámetros RLC, así como determinar las constantes de acuerdo a las condiciones iniciales.

CIRCUITOS RLC

Un circuito de segundo orden es aquel que contiene dos elementos almacenadores de energía, A estos circuitos también se les llama circuitos de segundo orden, ya que la ecuación que resulta al aplicar las leyes de Kirchoff es una ecuación diferencial de segundo orden, pueden ser serie y paralelo haciendo el análisis correspondiente se llega a unas ecuaciones similares por lo tanto nos limitaremos a analizar el caso del circuito RLC serie.

Teniendo un circuito como el de la figura de abajo, de acuerdo a la ley de voltaje de Kirchhoff tenemos:[pic 1]

[pic 2]

Al ser una sola malla la corriente que pasa por el resistor, el inductor y el capacitor es la misma. Y tenemos que

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Por lo tanto la ecuación de malla queda:

[pic 6]

Procedemos a dejar la ecuación diferencial en su forma característica:

[pic 7]

Hacemos el cambio de variable para resolver la ecuación diferencial (solución homogénea):

[pic 8]

Como es una ecuación cuadrática la resolvemos por la formula general:

[pic 9]

 Y si llamamos  tenemos[pic 10][pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

La respuesta natural del sistema esta dada por:

[pic 14]

Donde las constantes  y  se determinan por las condiciones iniciales.[pic 15][pic 16]

Procedemos a determinar la solución particular para la cual  [pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Como la derivada de una constante es cero, la expresión se simplifica a

[pic 20]

Por lo tanto la solución particular satisface la ecuación. Sabemos que la solución general de una ecuación diferencial de segundo grado es igual a la suma de la solución particular más la solución natural.

Antes de seguir vamos a analizar los casos del discriminante de la solución homogénea:

La solución del voltaje, la cual depende de los valores de  y de  se apegaría a uno de los tres casos posibles siguientes:[pic 21][pic 22]

• Caso 1: si , las raíces son iguales,   y se dice que el circuito es críticamente amortiguado. La solución toma la forma:[pic 23][pic 24][pic 25]

[pic 26]

        Si , [pic 27]

[pic 28]

        Por lo tanto:

[pic 29]

Para determinar las constantes  tenemos que tomar en cuenta las condiciones iniciales:[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Como  [pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

• Caso 2: si , las raíces son reales y se dice que el circuito esta sobre amortiguado. La solución toma la forma[pic 40]

[pic 41]

Para determinar las constantes  tomamos nuevamente las condiciones iniciales        [pic 42][pic 43][pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

Como  [pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

• Caso 3: si , las raíces son complejas y se dice que el circuito esta subamortiguado. las raíces son:[pic 51]

[pic 52]

Y  se llama frecuencia de anillo (o frecuencia de resonancia amortiguada), y . La solución tiene la forma[pic 53][pic 54]

[pic 55]

Que es una sinusoide amortiguada o decayente.

Las constantes  se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del circuito. [pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

Como  [pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

Ejemplo:

Tenemos un circuito RLC como el que se muestra en la figura de abajo, que tiene un voltaje , inductancia L = 2mH, capacitancia C=0.05µF y resistencia R = 160Ω. El valor inicial del voltaje de capacitor es , y la corriente en el inductor . Si se cierra el interruptor S1 cuando t=0, determinar:[pic 68][pic 65][pic 66][pic 67]

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