CONTROL DIGITAL ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE

CONTROL DIGITAL

ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DEE. J. Taconi – R. J. Mantz

J. A. Solsona – R. Ojeda

Laboratorio de Electrónica Industrial Control e Instrumentación (LEICI)

Departamento de Electrotecnia – Facultad de Ingeniería – UNLP

CAPÍTULO UNO.

NOCIONES SOBRE MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN DE

SEÑALES.

I.1. INTRODUCCIÓN.

La figura 1.1 representa un clásico esquema de control digital. La señal a controlar, y(t),

es muestreada a través de un convertidor analógico digital A/D y comparada con el valor de re-

ferencia (o set-point) r(nT) almacenado en una posición de memoria del sistema de microcóm-

puto en el cual se implementa el controlador digital. La información que resulta de esta compa-

ración (señal de error discreta), es procesada por el microcomputador, que mediante un

algoritmo recursivo, genera una señal de mando discreta u(nT) que es convertida en analógica a

través de un convertidor D/A. Esta secuencia de operaciones es realizada cada T segundos, sien-

do T el período de muestreo.

Sistema de microcómputo.

Perturbación

p(t).

Actuador de

potencia.

+

r(nT)

e(nT)

u(nT)

u(t)

Proceso

y(t)

+ D

D/A

ACT.

G(s)

+

-

y(nT)

A/D

Figura 1.1. Esquema básico de control digital.

-

-

En el esquema de la figura pueden distinguirse dos tipos de señales:

Señales continuas o analógicas. Son aquellas definidas para todo instante de tiempo (u(t),

y(t), p(t)).

Señales de tiempo discreto. Son aquellas únicamente definidas en los instantes de tiempo

t = nT, siendo n un número entero y T el período de muestreo (r(nT), e(nT), u(nT)).

A los efectos de simplificar determinadas expresiones, la siguiente notación también se-

rá empleada para las señales discretas:

f nT = f (nT ) .

(1-1)

Desde el punto de vista del análisis y diseño de sistemas de control muestreados, el es-

quema de la figura 1.1 no difiere del clásico esquema de texto de la figura 1.2.

1

p(t)

r

+

e(t)

e(nT)

u(nT)

u(t)

Proceso

+

y(t)

D

D/A

G(s)

-

Figura 1.2. Esquema simplificado de control digital.

Si se pretende analizar el comportamiento del sistema de la figura 1.2 (o 1.1), utilizando

las herramientas matemáticas que se emplean en sistemas analógicos, se choca con el primer in-

conveniente: no existe la transformada de Laplace de una señal que sólo está definida en algu-

nos puntos, y por consiguiente no todos los bloques de la figura 1.2 pueden ser modelados con

funciones de transferencia.

Para obviar el inconveniente citado en el último párrafo, se planteará un modelo del

conjunto convertidor A/D - controlador digital - convertidor D/A, que visto desde sus extre-

mos presente el mismo comportamiento que este conjunto y además que las señales en su inter-

ior, aunque distintas a las reales, permitan el empleo de nuestros conocimientos referidos a sis-

temas continuos.

I.2. MODELO DEL MUESTREADOR (CONVERSOR A/D) Y RECONSTRUCTOR

DE SEÑAL (CONVERSOR D/A).

La figura 1.3 a) muestra el conjunto A/D – D/A a modelar. En las partes b) y c) de la

figura 1.3 se indican las señales f(t), f(nT) y y(t) que correspondientes a la parte a).

a)

f(t)

f(nT)

y(t)

A/D

D/A

F(s)

Y(s)

b)

ff(t)

(nT)

T

2T

2

(n-1)T

nT

t

c)

y(t)

f (t)

T

2T

(n-1)T nT

t

Figura 1.3. a)Conjunto a modelar.

b)Señal continua f(t), y discreta f(nT).

c)Señal continua f(t) y reconstruida y(t).

La señal reconstruida y(t) puede ser expresada a partir de una sumatoria de escalones

desplazados en el tiempo

∞

y ( t ) =

∑ f (nT ) [ μ (t − nT ) − μ (t − ( n + 1 )T ) ] ,

(1-2)

n=−∞

donde:

 1 si t ≥ nT

μ ( t − nT ) = 

.

(1-3)

0 si t < nT

Luego, la transformada de Laplace de la señal reconstruida y(t), resulta:

Y ( s ) =

∑

∞

f (nT )

e − nTs − e − nTs −Ts

n=−∞

s

(1-4)

operando:

Y ( s) =   ∑ ∞

f ( nT ) e − nTs   1 

− e − Ts 

 .

n = −∞

  s 

(1-5)

El primer factor de la ecuación (1-5), a pesar de ser una expresión en el dominio frecuencial

complejo s, da idea de lo que sucede en el tiempo, ya que corresponde a una operación lineal

entre los valores de las distintas muestras de la señal f(nT) desplazados en el tiempo en t= nT.

Luego, si a los efectos de la modelización se asigna este factor a la transformación de Laplace

∗de la señal muestreada F (s), el segundo factor de la ecuación (1-5), corresponde a la transferen-

cia del reconstructor de señal que denominaremos Ho(s). Es decir:

con:

Y ( s ) = F * ( s ) ⋅ H o ( s )

(1-6)

3

∞

F * ( s ) =

∑ f ( nT ) e

−nTs

n=−∞

H ( s )o=

1 − e − Ts

s

.

(1-7)

(1-8)

Para completar el modelo, falta ahora, definir el bloque que relaciona la transformada

de Laplace F(s) de la señal continua con la trasformada F*(s) asignada a la señal muestreada

(figura 1.4).

f(t)

f *(t)

y(t)

?

Ho(s)

F(s)

F*(s)

Y(s)

Figura 1.4. Modelización del muestreador y reconstructor.

Teniendo en cuenta que la trasformada inversa es también una operación lineal, la anti

transformada de F*(s) resulta:

donde:

∞

f * (t ) =

∑ f (nT ) δ (t − nT )

n =−∞

f * ( t ) = f ( t ) ⋅ δ T (t ) ,

(1-9)

(1-10)

∞

δ T (t ) =

∑ δ (t − nT )

n=−∞

(1-11)

representa a un tren de impulsos (figura 1.5). Es decir, que la señal f*(t) puede considerarse co-

mo un tren de impulsos modulados por f(t).

...