SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL PID’S Y NO CONVENCIONALES

1. INTRODUCCIÓN

Uno de los primeros procedimientos que se utilizaron para diseñar controladores digitales, fue la discretización de los controladores continuos convencionales de mayor aplicación: los controladores PID (Proporcional-Integral- Derivativo), los cuales se utilizaron en las prácticas anteriores.

Al discretizar dichos controladores, sin embargo, la versatilidad de la computadora provocó que la estructura del PID sufriera diversas modificaciones, de tal manera que existen hoy en día diversas estructuras de PID's discretos. A continuación, se describen algunas de ellas con sus ventajas y desventajas.

1. Modo Posición con Integración Rectangular

Una de las expresiones discretas para manejar el controlador PID es la conocida bajo el nombre de Modo Posición con Integración Rectangular. El nombre se debe a que la integral del error se aproxima mediante la suma del área de pequeños rectángulos de altura e, (error) y base T (tiempo de muestreo). El algoritmo para esta forma discreta está dado por la siguiente fórmula:

[pic 1]

(1)

Donde uss es la posición inicial (o de estado estable) del acutador.

Este tipo de ecuación presenta un problema conocido como saturación del término integral (reset windup). Este aparece cuando el controlador se satura, es decir, intenta mandar manipulaciones mayores a 100% o menores a 0%.

Si el controlador envía una manipulación demasiado alta (200% por ejemplo), el proceso sólo recibirá 100% (por limitaciones físicas del actuador), lo cual provocará que el error sea mayor que el esperado y que el término integral crezca aún más (300% por ejemplo). Si el problema permanece, el término integral puede alcanzar valores muy altos que sólo se reducirán cuando el controlador acumule grandes errores de signo contrario.

El efecto concreto de este problema es que cuando el actuador se satura se presentan grandes sobretiros en la respuesta y en algunos casos, incluso inestabilidad.

Para eliminar este problema, algunos sugieren parar la sumatoria cuando ésta alcanza un valor límite preestablecido (±100% por ejemplo) o cuando el controlador se satura (alcanza 0 ó 100%). Otra forma de resolver esto es usar la forma en modo velocidad que a continuación se describe (con algunas consideraciones especiales).

1. Modo velocidad con integración rectangular

Esta ecuación de PID discreto presenta la ventaja de permitir eliminar fácilmente la saturación del término integral. Se obtiene desplazando la ecuación (1) un tiempo de muestreo hacia atrás, ecuación (2), restando ambas y despejando la manipulación actual, ecuación (3).

A la ecuación (3) se le conoce como modo velocidad porque calcula el cambio (velocidad) de la manipulación en cada instante de muestreo. A diferencia de la ecuación (2) que calcula el valor absoluto (posición) en cada tiempo de muestreo.

[pic 2]

(2)

[pic 3]

(3)

Dado que en la ecuación (3) la manipulación sólo depende de la manipulación anterior, se puede evitar la saturación del término integral verificando si la manipulación sobrepasa el límite máximo o mínimo y eliminando el exceso, con lo cual se evita que la sumatoria crezca demasiado eliminando los sobretiros correspondientes.

Concretando:

si un > 100 entonces un = 100

si un < 0 entonces un = 0

y para el siguiente tiempo de muestreo este valor aparecerá como mn-1.

A este proceso se le llama retroalimentar la saturación del actuador. Sólo debe utilizarse cuando el controlador tiene integrador, ya que un controlador sin integración no podrá recuperar el exceso eliminado y presentará un error de estado estable. Tampoco se recomienda en controladores con integración muy lenta

1. Integración mediante la regla trapezoidal. Modo posición y Modo Velocidad

Otra alternativa para el uso del PID equivalente discreto, es usar integración mediante la regla trapezoidal, ya sea en su Modo Posición, ecuación (4), o en su Modo Velocidad, ecuación (5). En esta alternativa, la integral se calcula sumando las áreas de los trapecios de alturas ek y ek-1 por el ancho T, lo cual representa una mejor aproximación a la integral continua. Esto es particularmente útil cuando el tiempo de muestreo es grande. El área del trapecio es igual al promedio de las alturas (ek y ek-1) por la base (T).

[pic 4]

(4)

[pic 5]

(5)

Es importante mencionar que con un controlador con integración rectangular puede obtenerse el mismo comportamiento que con uno trapezoidal si se modifican los parámetros del controlador.

1. Modificaciones al Término Derivativo

Es muy común que los controladores industriales modifiquen la forma de implementar el término derivativo porque presenta ciertos problemas. Uno de los más importantes aparece cuando se aplica un cambio en referencia, ya que en ese momento el error crece bruscamente (la derivada del error tiende a infinito) y el controlador generará una manipulación muy brusca. Un instante después, la derivada del error se normaliza y la acción del término derivativo regresará casi a cero.

Para evitar estas manipulaciones bruscas innecesarias se suprime la derivada de la referencia de la derivada del error y se sustituye para fines del derivativo e por -y, es decir, el término derivativo actúa sobre la respuesta y no sobre el error.

[pic 6]

(6)

Haciendo este cambio en ecuación número 5 quedará:

[pic 7]

(7)

Cuando el tiempo de muestreo es pequeño se observa mejor la diferencia entre ejercer la acción derivativa sobre la salida y sobre el error.

Esta ecuación tiene ya las modificaciones más usuales y es, por tanto, la más recomendable de las vistas hasta este momento.

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