Compensadores

Diseño de Compensadores en Adelanto y Atraso

Compensador por Adelanto mediante Lugar de Raíces

Compensador por Adelanto mediante Respuesta en Frecuencia

Compensador en Atraso mediante Lugar de Raíces

Compensador en Atraso mediante Respuesta en Frecuencia

Compensadores en Atraso/Adelanto

Los compensadores en Adelanto y Atraso se usan extensivamente en control. Un compensador en adelanto puede incrementar la estabilidad o velocidad de respuesta de un sistema; un compensador en atraso puede reducir (pero no eliminar) el error de estado estacionario. Dependiendo del efecto deseado, uno o más compensadores en adelanto y en atraso puede usarse en varias combinaciones.

Los compensadores en atraso, adelanto y adelanto/atraso se diseñan normalmente para un sistema representado en la forma función de transferencia. La página de conversiones explica cómo convertir un modelo en espacio de estado a la forma función de transferencia.

Compensador por adelanto o atraso mediante Lugar de Raíces

Un compensador de primer orden en adelanto puede diseñarse usando el lugar de raíces. Un compensador en adelanto en la forma de mapa polo-cero está dado por

Donde la magnitud de zo es menor que la magnitud de po. Un compensador por adelanto tiende a desplazar el lugar de raíces hacia el semiplano izquierdo. Esto resulta en una mejora en la estabilidad del sistema y un incremento en la velocidad de respuesta.

Cómo se logra esto? Recuerde como se hallaban las asíntotas del lugar de raíces que se dirigen a los ceros en el infinito, la ecuación para determinar la intersección del asíntotas en el eje real es:

Cuando un compensador en adelanto se adiciona a un sistema, el valor de esta intersección será un número negativo más grande que lo que había sido anteriormente. El número neto de polos y ceros será el mismo (se agregaron un cero y un polo), pero el polo agregado es un número negativo más grande que el cero agregado. Por lo que, el efecto de un compensador en adelanto es que la intersección de las asíntotas se muevan más hacia el semiplano izquierdo, y todo el root locus será desplazado a la izquierda. Esto puede incrementar la región de estabilidad así como la velocidad de respuesta.

En Matlab se implementa un compensador con fase en adelanto en la forma de mapa polo-cero usando la función de transferencia en la forma

numlead=kc*[1 z];

denlead=[1 p];

y use la función conv() para implementarlo con el numerador y denominador de la planta

newnum=conv(num,numlead);

newden=conv(den,denlead);

Compensador por adelanto o atraso mediante respuesta en frecuencia

Un compensador de primer orden por adelanto puede diseñarse usando la respuesta en frecuencia. Un compensador en adelanto en la forma respuesta en frecuencia está dada por

Note que esto es equivalente a la forma lugar de raíces (mapa polo-cero)

con p = 1/T, z = 1/aT, y Kc = a. En diseño por respuesta en frecuencia, el compensador por adelanto agrega fase positiva al sistema en el rango de frecuencias de 1/aT a 1/T. El diagrama de Bode de un compensador por adelanto se ve como el siguiente

Las dos frecuencias de corte están en 1/aT y 1/T; note que la fase positiva que se adiciona al sistema entre esas dos frecuencias. Dependiendo del valor de a, la máxima fase adicionada puede ser hasta 90 grados; si necesita más que 90 grados de fase, puede usarse dos compensadores en adelanto . La cantidad máxima de fase se adiciona en la frecuencia central, la cual se ubica en

La ecuación que determina la máxima fase es

Una fase positiva adicional incrementa el margen de fase y por lo tanto incrementa la estabilidad del sistema. Este tipo de compensador se diseña determinando a de la cantidad de fase necesaria para satisfacer el requerimiento del margen de fase, y determinando T donde ubicar la fase adicionada a la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

Otro efecto del compensador en adelanto puede verse en el gráfico de magnitud. El compensador en adelanto incrementa la ganancia del sistema a altas frecuencias (esta ganancia es igual a). Esto puede incrementar la frecuencia de corte, lo cual ayudará a bajar el tiempo de elevación y tiempo de asentamiento del sistema.

En Matlab, un compensador con fase en adelanto en la forma respuesta en frecuencia se implementa usando la función de transferencia en la forma

numlead=[aT 1];

denlead=[T 1];

y mediante la función conv() multiplicarla por el numerador y el denominador de la planta

newnum=conv(num,numlead);

newden=conv(den,denlead);

Compensador en Atraso de fase usando Lugar de

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