Esfuerzo Cortante

Diagrama de Esfuerzo Cortante

El diagrama de esfuerzos cortantes de una pieza prismática es una función que representa la distribución de esfuerzos cortantes a lo largo del eje baricéntrico de la misma. Para una pieza prismática cuyo eje baricéntrico es un segmento recto los esfuerzos cortantes vienen dados por:

Donde la suma sobre i se extiende hasta k dado por la condición , siendo el putno de aplicación de la fuerza puntal . La anterior función será continua si y sólo si no existen fuerzas puntuales , ya que en ese caso el sumatorio se anularía, y al ser una función continua a tramos su primitiva es una función continua. Si en la posición existe una carga puntal entonces:

Y por tanto el límite por la izquierda y por la derecha no coincide, por lo que la función no es continúa. La expresión (4) puede escribirse en forma de integral única si se usa la función generalizada delta de Dirac:

Dónde:

, punto de aplicación de la carga puntual

El diagrama de momentos definido por (1) o por (2) resulta ser la derivada (en el sentido de las distribuciones) del diagrama de momentos flectores.

Diagrama de Momento Flector

Para elementos lineales perpendiculares tipo barra, el momento flector se define como una función a lo largo del eje neutro del elemento, donde "x" representa la longitud a lo largo de dicho eje. El momento flector así definido, dadas las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de fuerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la sección en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de momento flector varía a lo largo del mismo. Asimismo las cargas estarán completadas en secciones y divididas por tramos de secciones. En una pieza de plano medio, si se conoce el desplazamiento vertical del eje baricéntrico sobre dicho plano el momento flector puede calcularse a partir de la ecuación de la curva elástica:

Dónde:

es el desplazamiento vertical o desplazamiento de la curva elástica.

es el módulo de Young del material de la viga.

es el segundo momento de área de la sección transversal de la viga.

Además el momento flector sobre una viga de plano medio viene relacionado con el esfuerzo cortante por la relación:

Método de las secciones

El primer método que se usa para la construcción de diagramas de momentos es el método de secciones, el cual consiste en realizar cortes imaginarios a lo largo de un elemento y aplicar las ecuaciones del equilibrio. Supóngase que se realiza un corte imaginario sobre una viga, como la pieza continúa en su lugar, se puede considerar que se encuentra empotrado a la otra parte de la viga, por lo que existen reacciones que impiden el desplazamiento. En el caso del momento, es posible realizar una suma de momentos en el punto en el que se realizó el "corte". Se debe contar cada fuerza, carga distribuida y momento hasta donde se realizó el corte. En el método de secciones es necesario realizar un corte por cada factor que cambie la distribución del diagrama de momentos.

Método de los tramos

Otro método usado para la construcción de diagramas de momentos son las funciones discontinuas, que sirve para construir una función continua a tramos. En el caso de que un elemento estuviera sometido a varias fuerzas, cargas y momentos la cantidad de cortes que serían necesarios vuelve al procedimiento tedioso y repetitivo. Si se observa con cuidado, la ecuación de momento aumenta un término por cada corte que se realiza debido a la nueva fuerza, carga distribuida o momento que se agrega. El uso de las funciones discontinuas consiste en agregar funciones rampa que se "activen" cuando se llega a cierta posición (donde antes se colocaba el corte). Estas funciones se definen como sigue:

Método de la integración directa[editar]

Otra posibilidad es usar fórmulas vectoriales directas, si se tienen fuerzas puntuales y reacciones verticales aplicadas en los puntos , una carga distribuida continua y momentos puntuales situados a la derecha de la sección, el momento flector total puede calcularse directamente como:

Donde la suma sobre i se extiende hasta k dado por la condición . La anterior función será continua si y sólo si todos los momentos puntuales se anulan, y será diferenciable si sólo existe carga continua q. Cuando las fuerzas puntuales no sean todas nulas la función será continua a tramos. Otra forma práctica de expresar la última ecuación es:

que permite encontrar la función mediante una integral simple en lugar de doble. O en términos de la función rampa:

Esfuerzos

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