Funcion Exponencial Y Logaritmica

1. DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

Es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función se define como el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural. La función exponencial ex puede ser definida como una serie de potencias.

2. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

• Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

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3. GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

4. DERIVADAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

ex es su propia derivada . Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

• La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.

• La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.

• La función es solución de la ecuación diferencial .

Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:

Donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto .

5. DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

6. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

• El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

• La derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están definidas).

Regla de Leibniz

• La derivada logarítmica de la función recíproca de una función es el negado de la derivada logarítmica de la función:

• La derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor:

En la misma forma que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.

• La derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante), la misma es el producto del exponente y de la derivada logarítmica de la base:

El logaritmo de una potencia es el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.

7. GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son

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