Hola A Todos Los Que

{\sc Eventos mutuamente excluyentes}. Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si, y sólo si, la ocurrencia de uno impide la ocurrencia del otro, es decir, si y solo si, A y B no tienen puntos muestrales en común.\\

{\sc Función de Distribución}.La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.\\

\begin{definition}

La Función de Distribución Acumulada $F$ de una variable aleatoria $X$ es la función $F(x):\R\rightarrow[0,1]$ definida por:

$$F(x):=P(\{\omega:X(\omega)\leq x\})=P(X\leq{x}) $$

\subsubsection {Propiedades}

\begin{enumerate}

\item $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow +\infty}} F(x)=1$

\item $\displaystyle{\lim_{ x \rightarrow -\infty}} F(x)=0$

\item Si $x_1\leq x_2$, entonces $F(x_1)\leq F(x_2)$

\item $F(x)$ es continua por la derecha

\end{enumerate}

\end{definition}

\subsection{Variables Aleatorias Discretas}\\

\begin{definition}

Una variable aleatoria es discreta si toma un conjunto finito o numerable de valores.

\end{definition}

La variable aleatoria $X$ se llama discreta si su correspondiente función de distribución $F(x)$ es una función constante por segmentos. Sean $x_1, x_2,...$ los puntos de discontinuidad de $F(x)$. En cada uno de estos puntos el tamaño de la discontinuidad es $P(X=x_i)=F(x_i)-F(x_i-)>0$, ver figura \ref{fig:fdistdiscreta}. A la función $f(x)$ que indica estos incrementos se le llama función de probabilidad de $X$ y se define como sigue:

$$f(x)=\left\{\begin{array}{rcl}

P(X=x) & \mbox{si} & x=x_1, x_2,...\\

0 & & \mbox{en otro caso}

\end{array}

\right.$$

La función de distribución se reconstruye de la forma siguiente:\\

$$F(x)=\sum_{u\leq x}f(u)$$

Además satisface las siguientes propiedades:

\begin{enumerate}

\item $f(x_n)\geq 0 \quad\mbox{para}\quad n=1,2,... $

\item $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} f(x_n)=1}$

\end{enumerate}

\begin{figure}[h!]

\begin{center}

\setlength{\fboxrule}{0.5 pt}

\fbox{

\includegraphics[scale=.8]{im/fdistdiscreta.jpg}

}

\caption{Función de distribución de una Variable Aleatoria Discreta.}

\label{fig:fdistdiscreta}

\end{center}

\end{figure}

\subsubsection{Distribución Bernoulli}

Definimos la variable aleatoria $X$ representada por un ensayo Bernoulli, que es un experimento aleatorio con únicamente dos posibles resultados: éxito (denotado por el número 1) y fracaso (denotado por el número 0), con probabilidades $p$ y $1-p$ respectivamente. Entonces se dice que $X$ tiene una distribución Bernoulli con parametro $p \in (0,1)$. Se escribe $X\sim Ber(p)$ y la correspondiente función de masa de probabilidad es:

$$P (X=x)=\left\{\begin{array}{rcl}

p^{x}(1-p)^{1-x}& \mbox{si} & x=0,1\\

0 & & \mbox{en otro caso}

\subsection{Variables Aleatorias Continuas}

Una variable aleatoria es aquella con una cantidad infinita de posibles valores.

\begin{definition}

La variable aleatoria continua $X$ con función de distribución $F(x)$ se llama absolutamente continua, si existe una función no negativa e integrable $f$ tal que para cualquier valor se cumple:\\

$$F(x)=\int_{\infty}^{x}f(u)du$$

En tal caso a la función $f(x)$ se le llama función de densidad de $X$ y se cumple que para cualquier intervalo $(a,b) \in \R$:

$$P(a\leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f(x)dx$$

La función $f(x)$ tiene las siguientes propiedades:

\begin{enumerate}

\item $f(x)\geq 0 \quad\mbox{para todo}\quad x \in \R $

\item $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=1}$

\end{enumerate}

\end{definition}

\begin{figure}[h!]

\begin{center}

\setlength{\fboxrule}{0.5 pt}

\fbox{

\includegraphics[scale=.8]{im/fdistcontinua.jpg}

}

\caption{Función de distribución de una Variable Aleatoria Continua.}

\label{fig:fdistcontinua}

\end{center}

\end{figure}

\subsubsection{Distribución Uniforme}

Una variable aleatoria $X$ tiene distribución uniforme continua en el intervalo $(a,b)$, denotada por $X\sim U[a,b]$, si y sólo si la función de densidad de $X$ es:

$$f(x)=\left\{\begin{array}{rcl}

\displaystyle{\frac{1}{b-a}} & \mbox{si} & a<x<b\\

0 & & \mbox{en otro caso}

\end{array}

\right.$$

La respectiva función de distribución es:

$$F (x)=\left\{\begin{array}{rcl}

0 & \mbox{si} & x<a\\

\displaystyle{\frac{x-a}{b-a}} & \mbox{si} & a\leq x \leq b\\

1 & \mbox{si} & x>b

\end{array}

\right.$$

\begin{figure}[h!]

\begin{center}

\setlength{\fboxrule}{0.5 pt}

\fbox{

\includegraphics[scale=.8]{im/unif.pdf}

}

\caption{A la izquierda función de densidad de una Variable Aleatoria Uniforme (a,b) y a la derecha su respectiva función de distribución.}

\label{fig:unif}

\end{center}

\end{figure}

\end{array}

\right.$$

\subsubsection{Distribución Binomial}

Supongamos que se realizan $n$ ensayos independientes Bernoulli. El espacio muestral de este experimentos consiste de todas las posibles sucesiones de logitud $n$ de éxitos y fracasos. Si ahora se define la variable aleatoria $X$ como el número de éxitos en cada una de estas sucesiones, entonces $X$ toma los valores $0,1,...,n$ y se dice que $X$ tiene una distribución binomial con parámetros $n$ y $p$. Se escribe $X\sim Bin(n,p)$ y su función de masa de probabilidad es:

$$P (X=x)=\left\{\begin{array}{rcl}

\displaystyle{\binom{n}{k}p^{x}(1-p)^{n-x}} & \mbox{si} & x=0,1,...,n\\

0 & & \mbox{en otro caso}

\end{array}

\right.$$

\subsection{Variables Aleatorias Continuas}

Una variable aleatoria es aquella con una cantidad infinita de posibles valores.

\begin{definition}

La variable aleatoria continua $X$ con función de distribución $F(x)$ se llama absolutamente continua, si existe una función no negativa e integrable $f$ tal que para cualquier valor se cumple:\\

$$F(x)=\int_{\infty}^{x}f(u)du$$

En tal caso a la función $f(x)$ se le llama función de densidad de $X$ y se cumple que para cualquier intervalo $(a,b) \in \R$:

$$P(a\leq X \leq b)=\int_{a}^{b} f(x)dx$$

...