MOMENTOS ESTÁTICOS Y CENTROIDES.

[pic 1][pic 2]Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán Campo 4

  Laboratorio de Estática

Ingeniería Industrial

PRÁCTICA DE EXPERIMENTACIÓN No. 7

TEMA: MOMENTOS ESTÁTICOS Y CENTROIDES

Profesor: Jorge Adolfo Peláez Salinas

Alumno: Ramon Garcia Juan Salvador

No cuenta: 313323137

Grupo: 2255A

Laboratorio: L9-918A

Fecha de elaboración de la práctica: 06-04-2016

Calificación:

Fecha de entrega: 13-04-2016

INTRODUCCIÓN.

El tema de momentos estáticos, centroides y centros de gravedad es un tema muy interesante para su estudio, son temas relativamente sencillos aunque si se requiere un estudio previo.

Como ya se ha dicho, estos temas normalmente son teóricos y pocas veces se logra hacer una comprobación a través de un experimento, esto será parte del objetivo de esta práctica.

En esta práctica se realizaran varios cálculos de modelos. Sacaremos volúmenes, áreas y secciones de algunos cuerpos.

Para comprender mejor esta práctica, necesitamos conocer los siguientes conceptos:

• Centroide.

Es el punto donde se considera concentrada una línea, un área o un volumen dados, de cualquier forma, ya sean simples o compuestos. La localización de un centroide siempre está referida a un sistema de ejes rectangulares y su posición se establece mediante sus coordenadas centroidales medidas con respecto al sistema de coordenadas establecido y se denotan con la siguiente nomenclatura: (Xc, Yc) o bien (X, Y).

Los centroides de líneas, áreas y volúmenes elementales clásicos se pueden determinar usando el cálculo integral y se encuentran tabulados para su consulta en los textos de Mecánica para ingenieros en los tomos de Estática.

• Centro de gravedad.

El centro de gravedad de un cuerpo cualquiera, es el punto donde se considera concentrado su peso propio.

Si una línea es el eje longitudinal de una barra de sección uniforme, o si un área de cualquiera forma corresponde a la de una placa homogénea de espesor uniforme, o un volumen corresponde al de un cuerpo cualquiera, todos homogéneos y de la misma densidad, sus centroides coinciden con sus respectivos centros de gravedad.

• Momento estático.

Si denotamos el momento estático con la letra Q, de una línea plana L, o de un área elemental A cualquiera con respecto a un eje seleccionado x o y, dicho momento estático se calcula como el producto de la magnitud de la línea o del área, por la distancia centroidal a dicho eje. Lo anterior se expresa matemáticamente con las ecuaciones siguientes:

Qhx = L.Yc, QLy = L .Xc        .... (1)

Q$ = A .Yc¡,        Q$ = A .Xc         (2)

El momento estático de un volumen con respecto a un plano coordenado xy, yz o xz, se calcula como el producto de su tamaño por la distancia centroidal a dicho plano. Lo anterior se expresa matemáticamente con las siguientes ecuaciones:

Qly = v .zc ,        Qvyz = V .Xc,        Qvxz = V .Yc ,        (3)

• Centroides de líneas, áreas y volúmenes compuestos.

Las expresiones matemáticas que se aplican a estos elementos compuestos, se basan en la analogía con el teorema de Varignon o teorema de los Momentos y son las siguientes:

Línea plana compuesta:        Xc =        ' Xl,        Yc = lfl          (4)

Y Ai. Xi        YAí.Yí

Área compuesta:        Xc =        - -,        Yc =        - -          (5)

YVt. Xi        YVí.Yí        YVí.Zí

Volumen o masa o peso compuesto:        Xc =        - -,        Yc =        - -,        Zc =        --         (6)

Si un cuerpo es homogéneo y tiene la misma densidad, el centro de masa, el centro de volumen, el centro de gravedad y el centroide tienen la misma posición. 

OBJETIVO.

Investigaremos mediante dos métodos experimentales, los centros de gravedad de una barra metálica compuesta, homogénea y de sección circular; una placa de acrílico de espesor constante, integrada por varias áreas parciales, y un cuerpo de madera o de acrílico integrado también de volúmenes regulares parciales.

Compararemos los resultados experimentales con los resultados arrojados durante la práctica.

Cuestionario inicial

1. ¿Explica por qué no es necesario calcular el centroide de un área rectangular para conocer su posición?  Porque no se debe conocer el área ya que algunos cuerpos son asimétricos y no serviría de nada conocerla.
2. ¿Cambiará o no la ubicación física del centroide al cambiar la localización de los ejes del sistema de coordenadas? Explica brevemente la razón. No cambiaria ya que ese es el centride original solamente cambiarian sus coordenadas.
3. ¿Explica en qué punto de su volumen se encuentra el centroide de un prisma rectangular? Se encuentra solamente una de sus caras del rectángulo.
4. ¿Explica breve y concretamente cuáles son las condiciones que se deben cumplir para que el centroide de un volumen cualquiera, coincida con su centro de masa y su centro de gravedad? Que este sea puesto verticalmente de acuerdo al centroide de esta manera coincidirán ambos ya que uno como el otro apuntaran a la misma dirección.

EQUIPO Y MATERIAL

1. Placa circular de soporte de acero inoxidable.
2. Pedestal de barra circular roscada para acoplarse a la placa circular de soporte con tornillo de apoyo y/o suspensión.
3. Juego de tres placas de acrílico con geometría diferente cada una.
4. Barra circular de acero inoxidable compuesta de tres tramos.
5. Juego de dos cuerpos geométricos compuestos de dos partes cada uno.
6. Regla de 30 cm. o mayor
7. Flexómetro.
8. Plomada, Hilo de cáñamo o similar.

DESARROLLO.

1. Escogimos la barra metálica, placa de acrílico y sólido compuesto de acrílico para su estudio, se pidió dicho material para poder realizar la práctica.
2. Ya que teníamos el material, le trazamos ejes o rayitas en el acrílico para poder agarrar estas medidas como referencia.
3. Localizamos el punto de intersección de las rectas trazadas, siendo éste el centroide del cuerpo que puede considerarse bidimensional. Este era el punto más importante de medición.
4. Medimos las coordenadas (Xc, Yc), perpendicularmente a los ejes coordenados establecidos y los anotamos en el pizarrón en una tabla dibujada por el profesor.
5. De esta forma calculamos el área de una pieza de acrílico, igualmente sacamos medidas de la otra pieza y a esta le sacamos su volumen, finalmente a la última pieza solamente calculamos una línea o un lado de este.
6. En el pizarrón llenamos tablas con estos datos y de esta manera sacamos porcentajes de error.
7. Finalmente con los porcentajes de error, estudiamos los resultados experimentales con los teóricos, nos preguntamos porque había esa pequeña variación por lo que tuvimos que repetir la tabla 2 veces para que el resultado se aproximara al teórico.

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ANALISIS DE RESULTADOS

En la práctica calculamos momentos estáticos, teniendo estos y la longitud, área o volumen, podemos aplicar las fórmulas:

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 Como podemos observar en la tabla los resultados de las ecuaciones son muy parecidos a los que medimos en el laboratorio,, en algunos casos tuvieron un porcentaje de error bastante elevado pero esto puede deberse a varios factores como error al usar el flexómetro. A pesar de que no es 100% confiable, el metodo teorico nos puede ayudar a saber aproximadamente donde se encuentra el centroide de algún objeto que podamos dividir en segmentos donde sea más fácil calcular un centroide.

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