Modelado Matematico

MODELADO MATEMATICO DE PRIMER ORDEN

Vamos a agregar a nuestro modelo una complicación. Sin cambiar las líneas generales del dispositivo, sólo haremos que las guías lubricadas que no presentaban fricción, manifiesten ahora fricción viscosa, o sea, que se transforman en un amortiguador viscoso.

Esto significa que una segunda fuerza FR, proporcional a la velocidad (esto es, a la primera derivada del desplazamiento dy/dt) debe ser agregada a la fuerza generada por el resorte. Tendremos entonces:

F_R=R dy/dt

Donde:

R es la resistencia viscosa del amortiguador. Nuestra ecuación del movimiento será entonces:

R dy/dt+Ky=F

La ecuación (2) es una ecuación diferencial, debido a que contiene la derivada

dy/dt . Es una ecuación diferencial de primer orden debido a que la derivada mayor es la primera. Por esta razón, llamamos al sistema descrito por esta ecuación un sistema de primer orden. La solución de esta ecuación puede consistir en una relación funcional, libre de derivadas, entre la variable dependiente y y la variable independiente t . De esta manera tanto la entrada como la salida están implícitamente relacionadas a través de la variable independiente común t .

Antes de hacer esto, sin embargo, podríamos ver si podemos transformar la ecuación (2), en una forma similar a la (3), en el sentido en que la salida y esté expresada como el producto de una función de transferencia y una entrada. Esto es posible, si introducimos un cambio en el simbolismo de (2). Usaremos el símbolo s para indicar la operación de diferenciación, o sea, haremos que

s( y) =dy/dt. De esta manera la ecuación (2) puede ser re-escrita como:

〖(R〗_s+K)y=F

Es conveniente combinar las dos propiedades del sistema R y K en un único parámetro, la constante de tiempo t, definida como R/ K. En estos términos, la ecuación (3) queda como :

(ts+1)y=(1/k)F

y resolviéndola para y:

y=((1⁄k)/(ts+1))F

Una vez más, podemos llamar al término entre paentesis la función de transferencia del sistema, porque es la cantidad por la que el sistema multiplica la entrada para generar la salida. El siguiente diagrama (Fig. 1) expresa esta relación :

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