Modelado Matemático De Sistemas Dinamicos

Modelado matemático de sistemas dinámicos

Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión o, al menos, bastante bien. Un sistema puede representarse en muchas formas diferentes, por lo que puede tener muchos modelos matemáticos, dependiendo de cada perspectiva.

La dinámica de muchos sistemas, ya sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos, etc. Se describe en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de leyes físicas que gobiernan un sistema determinado, como las leyes de Newton para sistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoff para sistemas eléctricos.

A continuación presento los sistemas más importantes dentro de los modelos matemáticos.

Sistema Mecánico

La ley fundamental que controla los sistemas mecánicos es la segunda ley de Newton, que se aplica a cualquier sistema mecánico. Antes de analizar los sistemas mecánicos se repasaran algunas definiciones.

Masa

La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que contiene, misma que se supone constante. Físicamente la masa es la propiedad de un cuerpo que le da inercia, es decir, resistencia a moverse o detenerse. Un cuerpo es atraído por la Tierra y la magnitud de la fuerza que ejerce la Tierra sobre él se denomina peso.

La masa se calcula a partir de la siguiente ecuación:

Donde m es la masa, w el peso y g la constante de gravitación universal.

El valor de g varía ligeramente de un punto a otro de la superficie terrestre. Como resultado, el peso de un cuerpo varía ligeramente en diferentes puntos de la superficie de la Tierra, pero su masa permanece constante. El valor de g se considera como

Las unidades para la masa son los kg, los g, las Ib, los kgf s^2/m y el slug.

La masa de un cuerpo que pesa 32.2 lbf en la superficie de la Tierra es de 1 slug.

Fuerza

La fuerza se define como la causa que tiende a producir un cambio en el movimiento de un cuerpo al cual se aplica. Para mover un cuerpo, debe aplicarse una fuerza sobre él. Dos tipos de fuerza pueden actuar sobre un cuerpo: las fuerzas de contacto y las fuerzas de campo.

Las fuerzas de contacto son aquellas que tienen un contacto directo con el cuerpo, en tanto que las fuerzas de campo, tales como la fuerza gravitacional y la fuerza magnética, actúan sobre el cuerpo sin entrar en contacto con él.

Las unidades para la fuerza son el newton (N), la dina (din), el kgf y la lbf. El newton es la fuerza que le dará a una masa de un kilogramo una aceleración de 1 m/s^2.

Sistema mecánico

Considere el sistema masa-resorte-amortiguador montado en un carro sin masa.

Un amortiguador es un dispositivo que proporciona fricción viscosa o amortiguamiento. Está formado por un pistón y un cilindro lleno de aceite. El aceite resiste cualquier movimiento relativo entre la varilla del pistón y el cilindro, debido a que el aceite debe fluir alrededor del pistón (o a través de orificios en el pistón) de un lado del pistón al otro. El amortiguador esencialmente absorbe energía. Esta energía absorbida se disipa como calor y el amortiguador no almacena energía cinética ni potencial.

Obtengamos un modelo matemático de este sistema de masa-resorte-amortiguador montado en un carro, suponiendo que éste está inmóvil durante un t < 0. En este sistema, u(t) es el desplazamiento del carro y la entrada para el sistema.

En t = 0, el carro se mueve a una velocidad constante, o bien u = constante. El desplazamiento y(t) de la masa es la salida. (El desplazamiento en relación con el piso.) En este sistema, m representa la masa, b denota el coeficiente de fricción viscosa y k es la constante del resorte. Suponemos que la fuerza de fricción del amortiguador es proporcional a y- zi y que el resorte es lineal; es decir, la fuerza del resorte es proporcional a y - u.

Para sistemas traslacionales, la segunda ley de Newton establece que:

En donde m es una masa, a es la aceleración de la masa y ∑F es la suma de las fuerzas que actúan sobre la masa. Aplicando la segunda ley de Newton al sistema presente y considerando que el carro no tiene masa, obtenemos:

La ecuación anterior proporciona un modelo matemático del sistema considerado.

Un modelo mediante la función de transferencia es otra forma de representar un modelo matemático de un sistema lineal e invariante con el tiempo.

Para el sistema mecánico presente, el modelo mediante función de transferencia se obtiene del modo siguiente. Tomar la transformada de Laplace de cada término de la ecuación anterior produce:

Si establecemos las condiciones iniciales iguales a cero, o establecemos y(0) = 0, ý(0) =0

y u(0) = 0, la transformada de Laplace de la ecuación anterior se escribe como

Tomando el cociente entre Y(s) y U(s), encontramos que la función de transferencia del sistema es

Tal representación mediante la función de transferencia de un modelo matemático se usa con mucha frecuencia en la ingeniería de control. Sin embargo, debe señalarse que los modelos mediante la función de transferencia sólo se aplican a sistemas lineales e invariantes con el tiempo, dado que las funciones de transferencia ~610 están definidas para tales sistemas.

Sistema Eléctrico

Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de corrientes y voltajes de Kirchhoff. La ley de corrientes de Kirchhoff (la ley de nodos) plantea que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es cero.

La ley de voltajes de Kirchhoff (la ley de mallas) establece que en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero.

Un modelo matemático de un circuito eléctrico se obtiene aplicando una o ambas leyes de Kirchhoff.

Circuito LRC

Considere el circuito eléctrico que aparece a continuación

El circuito está formado por una inductancia L (henry), una resistencia R (ohm), y una capacitancia C (farad). Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff al sistema, obtenemos las ecuaciones siguientes:

Las ecuaciones anteriores dan un modelo matemático del circuito.

Un modelo mediante la función de transferencia del circuito también se obtiene del modo siguiente. Se toma la transformada de Laplace de las ecuaciones anteriores y se suponen condiciones iniciales iguales a cero, para obtener lo siguiente:

Si se supone que e_i es la

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