Simulacion

TALLER # 2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES

INTEGRANTES

MAYRA JIMENEZ MANJARRES

FRANKLIN GONZALEZ RETAMOZO

MARTHA QUINTANA SARABIA

GRUPO 02

INGENIERA

INGRID JOHANA DONADO ROMERO

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

VALLEDUPAR

2012-2

TALLER 2

Halle una aproximación (exacta hasta la décima cifra decimal) a la tasa de interés la con la que se conseguiría aumentar el capital acumulado un distribuidor de equipos de cómputo, a $1´000.000 si durante 240 meses ahorra $680.000

F=1000000

P=680.000

n=240m

F=P(1+i)^n

1.000.000=680.000(1+i)^240

680.000(1+i)^240- 1.000.000=0

Aplicando newton. a partir de una aproxima inicial de i=0.05 basados en un estudio previo tenemos la siguiente tabla.

i a b Fc Error

1 0.000000 0.005000 238113.396815 0.002500

2 0.000000 0.002500 -82267.958451 0.001250

3 0.001250 0.002500 66003.032825 0.000625

4 0.001250 0.001875 -10895.355677 0.000312

5 0.001563 0.001875 26837.235166 0.000156

6 0.001563 0.001719 7795.098800 0.000078

7 0.001563 0.001641 -1593.681597 0.000039

8 0.001602 0.001641 3089.769721 0.000020

9 0.001602 0.001621 745.315684 0.000010

10 0.001602 0.001611 -424.864260 0.000005

11 0.001606 0.001611 160.055288 0.000002

12 0.001606 0.001609 -132.447080 0.000001

13 0.001608 0.001609 13.793454 0.000001

14 0.001608 0.001608 -59.329475 0.000000

15 0.001608 0.001608 -22.768676 0.000000

16 0.001608 0.001608 -4.487778 0.000000

17 0.001608 0.001608 4.652796 0.000000

18 0.001608 0.001608 0.082499 0.000000

19 0.001608 0.001608 -2.202642 0.000000

20 0.001608 0.001608 -1.060072 0.000000

21 0.001608 0.001608 -0.488787 0.000000

22 0.001608 0.001608 -0.203144 0.000000

23 0.001608 0.001608 -0.060322 0.000000

24 0.001608 0.001608 0.011088 0.000000

25 0.001608 0.001608 -0.024617 0.000000

26 0.001608 0.001608 -0.006764 0.000000

La tasa de interés con que se conseguiría aumentar el capital acumulado es de: 0.0016

%programa NEWTON

Syms x

F=input('f(x)= ');

P0=input('P0= ');

tol = input ('Toleracia= ');

N=input('Numero maximo de iteraciones= ');

g=diff(F);

K=0;

while K<=N

x=P0;

FP0=eval(F);

gP0=eval(g);

P=P0-(FP0/gP0);

if abs(P-P0)<tol

disp(P);

break

else

K=K+1;

P0=P;

end

end

if K>N

disp('Agotado numero de iteraciones, finalizado sin exito')

end

2. Suponiendo que las ecuaciones de movimiento de un proyectil son:

Y=f(t) = 4605 –(1-e^(-t/15))-147t,

X = r(t) = 2400 (1- e^(-t/15).

a. Determine el tiempo transcurrido hasta el impacto con 10 cifras decimales de precisión.

Se asume que el momento del impacto es aquel en el cual Y=f(t) = 4605 –(1-e^(-t/15))-147t se hace igual cero, es decir:

Y=f(t) = 4605 –(1-e^(-t/15))-147t=0

Grafica de Análisis inicial.

Gráficamente podríamos determinar entonces que en un tiempo en el que la función se hace cero es muy próximo a [x0,x1]=[30,35]

Gráfica. Aplicación del método NEWTON- RAPHSON

Una vez aplicado el método de Newton Raphson, con una exactitud de diez cifraz decimales, el tiempo en que demora en caer el proyectil es cercano a t=31.3205674875. Teniendo en cuenta que la tolerancia fue del 10%, y fu necesaria 1 sola iteración.

Gráfica de Comprobación

b. Determine el alcance del disparo con 10 cifras decimales de precisión.

El alcance del disparo es el mayor valor en X que puede alcanzar el proyectil de esta manera, como x está en función del tiempo, y el tiempo en que el proyectil cae al suelo es

t=31.3205674875, reemplazamos este valor en la función:

x=r(t)=2400*(1-e^((-t)/15) )

x=r(31.3205674875)=2400*(1-e^((-31.3205674875)/15))

Con una exactitud de 10 cifras decimales el alcance del disparo es igual a

x= 2102.5678345071

En t=31.3205674875, tiempo en el que el proyectil toca el suelo.

Grafica de Análisis del problema

c. Halle el punto de la parábola y=x^2 que está más cerca del punto (3,1) con diez cifras decimales de precisión.

Grafica de Análisis del problema

Para encontrar el punto de la parábola mas cerca a P(3,1), empleamos el siguiente procedimiento, que nos ayudará a encontrar una función a la cual se le aplica un método numérico y es entonces cuando se halla la solución a nuestro problema:

y-a^2=2a(x-a)

y=2ax-a^2

entonces,(3-a)/(1-a^2 )=2a

(1-a^2)/(3-a)=(-1)/2a

(2a-2a^3)/(3-a)=-1

2a-2a^3=a-3

a-2a^3+3=0,

ponemos en función de x

2x^3-x-3=0

Gráfica de Aplicación del método Newton Raphson

El método que empleamos fue Newton Raphson para encontrar el punto cercano a (3,1), siendo asi, la respuesta es x=1.2907065514, con una tolerancia del 10%, y 3 iteraciones.

Grafica de Comprobación del método

d. Halle el punto de la curva y=sen(x-sen(x)) que está más cerca del punto (2.1,0.5) con diez cifras decimales de precisión.

Gráfica de Análisis

Nos dirigimos luego a encontrar la solución planteando una nueva ecuación asi:

y-b=sen(x-a-sen(x-a) )

Reemplazamos nuestros valores del punto (2.1,0.5) en la ecuación anterior

y-0.5=sen(x-2.1-sen(x-2.1) )

y=sen(x-2.1-sen(x-2.1) )+0.5=0

Grafica Resultado del Análisis

Gráfica Aplicación del Método Bisección

Buscamos la solución a través de Bisección con una precisión de 10 cifras decimales, y encontramos a x=0.5703125000, de la ecuación

y=sen(x-2.1-sen(x-2.1) )+0.5=0

Grafica de Comprobación del método

e. Halle con una precisión de diez cifras decimales, el valor de x para el que es mínima la distancia vertical entre las gráficas de las funciones f(x)=x2 +2 y g(x)=(x/5) – sen (x).

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