Trabajo practico Laplace

1. TRABAJO DE LABORATORIO Nº 2

2. POTENCIAL ELÉCTRICO. ECUACIÓN DE LAPLACE

1. OBJETIVO:

Verificar experimentalmente la ecuación de Laplace en dos dimensiones.

1. RESUMEN:

Se calcula teóricamente la distribución de potencial de una región cuadrada con condiciones de contorno conocida, empleando la ecuación de Laplace expresada mediante la aproximación en diferencia finita. La región a estudiar se divide en un reticulado ortogonal con un número finito de intersecciones. El método de cálculo es iterativo permitiendo el empleo de un utilitario tipo planilla de cálculo, obteniéndose la distribución del potencial eléctrico, que puede ser representado en un gráfico.

La verificación experimental, se monta la misma experiencia que se realiza para el tradicional práctico de mapeo de campo eléctrico, pero en este caso, se delimita una región cuadrada, por ejemplo 8 cm X 8 cm mediante dos electrodos conectados a una fuente. En la región bajo estudio se hace un reticulado rectangular con paso constante, por ejemplo de 1 cm, y en cada intersección, se mide el potencial eléctrico respecto de uno de los electrodos con un voltímetro, representándose gráficamente los datos experimentales.

Se comparan los datos y las gráficas comprobándose la semejanza de los resultados y por lo tanto la verificación de la validez de la ecuación de Laplace.

1. EQUIPAMIENTO NECESARIO:

Para una estación de trabajo

• 1 transformador 220/12 voltios
• 1 recipiente de vidrio con fondo plano. Si es rectangular mínimo 12 cm X 14 cm , si es circular diámetro mínimo 12 cm
• 2 electrodos uno en forma de "U" y otro en forma de "I" de longitud 10 cm
• 1 hoja de papel milimetrado.
• Conectores
• 1 Voltímetro CA (preferentemente digital p/alta impedancia)

Para el cálculo numérico.

• PC 286 con monitor VGA
• Utilitario Planilla de cálculo con posibilidad de graficar en 3D

1. FUNDAMENTOS TEORICOS:

En una región en dos dimensiones desprovista de cargas cuyo contorno tiene un potencial eléctrico determinado, la teoría predice que el potencial eléctrico en el interior es solución de la ecuación de Laplace (problema de Dirichlet).

Vamos a obtener la ecuación en diferencia finita equivalente a la de Laplace en dos dimensiones. Para ello suponemos que la función potencial eléctrico puede ser desarrollada en serie de Taylor alrededor de un punto (x,y) entonces

[pic 2] (1)

[pic 3] (2)

sumando (1) y (2) y agrupando, obtenemos

[pic 4] (3)

de igual manera se obtiene la derivada segunda para y

[pic 5] (4)

sumando ahora la (3) y la (4) resulta

[pic 6]

de donde se despeja la función potencial (x,y) resultando

[pic 7] (5)

El potencial en un punto es el promedio de los potenciales en los puntos circundantes.

La región donde se aplicará la (5), la supondremos de forma cuadrada, se retícula empleando una malla lo suficientemente fina formada con líneas ortogonales entre sí. Se asigna inicialmente a los puntos de intersección interiores el valor cero y los puntos de la  malla que están en el contorno toman el valor del potencial correspondiente. Se inicia el cálculo, en forma sistemática desde un vértice de la región, concluida la evaluación de todos los puntos, se reinicia el proceso. Puede observarse, que después de varios pasos, los potenciales convergen hacia determinados valores. Esto puede continuarse hasta que la diferencia del valor del potencial en un punto entre dos pasos sucesivos sea menor que un valor previamente definido.

1. DESCRIPCIÓN DEL DISPOSITIVO:

En un recipiente de vidrio transparente apoyado sobre un papel milimetrado, se coloca convenientemente dos electrodos del mismo metal, uno con forma de " U " y otro con forma de " I " , representando un contorno cuadrado( 10 cm X 10 cm), sin tocarse. Se agrega agua potable. Se conectan a una fuente de CA de 12 voltios. Un voltímetro se conecta de modo que un borne haga contacto con un de los electrodos y el otro a través de una punta de prueba medirá los potenciales en el recinto limitados por los electrodos siguiendo la retícula del papel milimetrado.

Es posible también delimitar regiones de otra forma, cambiando los electrodos, por ejemplo, "┌" y "┘" ( ángulo recto hacia abajo).

1. MARCHA DE LA EXPERIENCIA:

Montado el dispositivo de la figura Nº1, con la punta de prueba se irá registrando los valores de los potenciales según su posición determinada por el reticulado del papel milimetrado, es aconsejable, hacerlo con paso de 5mm.

Cuidando en cada registro que la punta de prueba se encuentre siempre perpendicular a la superficie.

Se puede completar el siguiente cuadro, con los datos experimentales, de modo que estén posicionados de acuerdo a sus coordenadas espaciales.

Una vez completo el cuadro se puede cargar los valores en un utilitario como a planilla de cálculo y representarlos en un gráfico de 3-D.

En la misma planilla de cálculo, en una hoja de trabajo se define el contorno de una región de celdas compatible con el cuadro anterior. En las celdas externas de la región van los valores de los potenciales de los electrodos y en las celdas interiores la fórmula (5).

Eligiendo la opción de cálculo iterativo se determina el valor del potencial en las celdas interiores.

Con estos datos se hace la representación gráfica correspondiente.

1. CALCULO DE ERRORES: [pic 8]

Se efectúa haciendo el cálculo del error porcentual punto a punto.

1. Valores prácticos

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