APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN.

APLICACIONES DE LA INTEGRACION

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION

OBJETIVOS

1. TEORÍA DE LA INTEGRACIÓN

1.1. HISTORIA

1.1.1. Integración antes del cálculo

1.1.2. Newton y Leibniz

1.2. Formalización de las integrales

1.3. Notación

1.4. TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN

2. CONCEPTOS Y APLICACIONES DE LA INTEGRACION

2.1. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

2.1.1. Enunciado de los teoremas

1. EXTENSIONES

1. Integrales impropias

2. Integración múltiple

3. Integrales de línea

4. Integrales de superficie

5. Integrales de formas diferenciales

6. Métodos y aplicaciones

1. Cálculo de integrales

2. Algoritmos simbólicos
3. Cuadratura numérica

3. EXCEDENTE DE CONSUMIDORES Y PRODUCTOS.

3.1. EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR:

3.2. EXCEDENTE DEL PRODUCTOR:

4. Teorema del valor medio

4.1. Valor promedio de una función

4.2. Valor promedio de una función periódica

4.3. Valor promedio de una función

4.4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

4.5. Interpretación gráfica del teorema para una función positiva:

4.6. Enunciado para una variable

4.7. Demostración

5. ECUACIÓN DIFERENCIAL

5.1. Orden de la ecuación

5.2. Grado de la ecuación

5.3. Ecuación diferencial lineal

5.4. Usos

5.5. Ecuaciones semilineales y cuasilineales

5.6. Solución de una ecuación diferencial

5.6.1Tipos de soluciones

5.6.2. Solución general

5.6.3. Solución particular

5.6.4. Solución singular

5.7. Ecuación diferencial ordinaria

5.7.1. Importancia

5.7.2. Definiciones

5.7.2.1. Ecuación diferencial ordinaria

5.7.2.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

5.7.2.3. Ecuación de variables separables

5.7.2.4. Ecuación exacta

5.7.2.5. Ecuación lineal

5.7.2.6. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

5.7.2.7. Ecuación lineal con coeficientes constantes

5.7.2.8. Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy

5.7.2.9. Ecuaciones de Bessel

5.7.2.10. Ecuación de Legendre

5.7.2.11. Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

5.7.2.12. Ecuación lineal de orden n con coeficientes constantes

5.8. Ecuación en derivadas parciales

5.8.1. Notación y ejemplos

5.8.2. Solución general y solución completa

5.8.3. Existencia y unicidad

6. CONCLUSION

INTRODUCCION

Es como complemento a los temas que hemos visto en el tiempo acumulado hasta la actualidad sobre la integración y sus aplicaciones.

Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase de Cálculo II.

Al tener el conocimiento necesario sobre puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:

Comprender los conceptos fundamentales del cálculo integral y su aplicación a la solución de problemas prácticos y proporcionar bases.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

• Identificar y aplicar el concepto de integral, para resolver problemas

•  Reconocer el uso de métodos como son el excedente de consumidores y productos, el valor promedio de una función y las ecuaciones diferenciales elementales

• dar a entender que las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

1. TEORÍA DE LA INTEGRACIÓN

Dada una función [pic 1]de una variable real [pic 2]y un intervalo [pic 3]de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano [pic 4]limitada entre la gráfica de [pic 5], el eje [pic 6], y las líneas verticales [pic 7]y [pic 8], donde son negativas las áreas por debajo del eje [pic 9]. [pic 10]

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada[pic 11]. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una anti derivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones vectoriales de una variable, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por el de la parametrización de la curva sobre la cual se está integrando, la cual, conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

[pic 12]

1.1. HISTORIA

1.1.1. Integración antes del cálculo

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.

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