Act. 6 Costos Y Presuspuestos

Trabajo Colaborativo Nº. 2

Por

Luisa Yirley Ballén Coca - 1051184940

Belcy Patricia Acevedo Macías – 1051473867

John Emanuel Pabón

Duvan Mauricio Rojas Cely - 1052020461

100412 – Ecuaciones Diferenciales

Grupo – 135

Presentado a

José Adel Barrera Cardozo

Tutor

Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD)

Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería (ECBTI)

2013

Objetivos

Aprender a identificar algunas clases de ecuaciones diferenciales.

Identificar los temas de la unidad uno del curso y desarrollar los ejercicios propuestos.

Desarrollar habilidades inter-personales para lograr un desempeño alto en equipo colaborativo.

Establecer y defender posiciones con evidencias y argumentos sólidos.

Interactuar las ideas de cada uno de los participantes del grupo.

Actividad No. 1:

El trabajo colaborativo 2 consiste en desarrollar los siguientes ejercicios en el grupo colaborativo y posteriormente ser entregados según los parámetros indicados en el producto esperado:

1. Resuelva el problema de valor inicial si y (1) = 2 y’ (1) = 1 en:

〖2x〗^2 y^(´´)+〖3xy〗^´-y=0

Tenemos la ecuación diferencial dada por:

2x².y"(x) + 3.x.y´(x) - y(x) = 0

Con condiciones de borde y(1)=2 y´(1)=1. Podemos plantear una solución analítica, es decir, desarrollable en serie de potencias:

...........∞

y(x) = ∑ A(n).x^[n]

..........n=1

Donde A(n) son los coeficientes de la serie. Derivando:

...........∞

y´(x) = ∑ A(n).n.x^[n-1]

..........n=1

............∞

y´´(x) = ∑ A(n).n.(n-1).x^[n-2]

...........n=1

Donde tranquilamente, la serie de y´(x) puede empezar en n=2, así como la de y´´(x) en n=3. Reemplazando esto en la ecuación diferencial:

2x² * {∑ A(n).n.(n-1).x^[n-2] } + 3x * {∑ A(n).n.x^[n-1]} - {∑ A(n).x^[n]} = 0

Con n, desde 1 hasta ∞. Vemos que x² * x^[n-2] = x^[n], así como x * x^[n-1] = x^[n]. Luego podemos sacar de factor común A(n).x^[n]

∑ A(n).x^[n] * { 2.n.(n-1) + 3n - 1 } = 0

Dado que A(n) no puede ser cero para todos los valores de "n", entonces el término 2.n.(n-1) + 3n - 1 tiene que anularse. Distribuyendo:

2n² + n - 1 = 0

Obtenemos n₁= -1 y n₂=½. A priori esto va en contra a que "n" sea natural. La justificación de esto es que, si uno propusiese una solución del estilo y(x) = x^[a] con "a" real, haciendo exactamente las mismas cuentas obtendría que tanto y₁(x) = x^(-1) como y₂(x) = x^(½) es solución del sistema. En línea general, la solución es una combinación lineal de las mencionadas:

y(x) = A.x^(-1) + B.x^(½)

O un poco más detallado:

y(x) = A/x + B.√x

Donde "A, B" son constantes reales que saldrán con las condiciones de borde del sistema. Usando que y(1)=2:

y(1) = 2 = A + B

y derivando la solución:

y´(x) = -A/x² + ½B/√x

y evaluando en 1 (usando y´(1)=1):

y´(1) = 1 = -A + ½B

Luego obtenemos dos ecuaciones con dos incógnitas:

A + B = 2

-A + B/2 = 1

Sumándolas:

3/2B = 3

Luego es trivial que B=2. Reemplazando en cualquiera de las dos ecuación (por ejemplo en A+B=2) sale que A=0. Por lo tanto la solución que satisface esas condiciones iniciales es:

y(x) = 2√x

2. Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones:

Solución:

w(y_1,y_2 )=[■(cos(3x)&sen(3x)@-3sen(3x)&3cos⁡(3x))]

=3〖cos〗^2 (3x)+3〖sen〗^2 (3x)

=3〖(cos〗^2)(3x)+3〖sen〗^2 (3x))

w(y_1,y_2 )=3

w(y_1,y_2 )=[■(e^ax&xe^ax@ae^ax&e^ax+axe^ax )]=e^ax (e^ax+axe^ax )-ae^ax*xe^ax

w(y_1,y_2 )=e^2ax+axe^2ax-axe^2ax

〖w(y_1,y_2 )=e〗^2ax

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constante.

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