Aplicacion De La Logica Matematica

APLICACIÓN DE LA LÓGICA MATEMÁTICA EN LA COMPUTACIÓN

oct25

LÓGICA COMPUTACIONAL

Es la misma lógica matemática aplicada al contexto de las ciencias de la computación. Su uso es fundamental a varios niveles: en los circuitos computacionales, en la programación lógica y en el análisis y optimización (de recursos temporales y espaciales) de algoritmos.

CIRCUITOS COMPUTACIONALES

El nivel menos abstracto dentro de una computadora está constituido por circuitos electrónicos que responden a diferentes señales eléctricas, siguiendo los patrones de la lógica booleana; esto es, compuertas lógicas que devuelven un valor dependiendo de las entradas que se le dan al sistema. Existen ocho compuertas lógicas básicas con las cuales se pueden formar sistemas muy complejos: AND, OR, Inverter, Buffer, NAND, NOR, XOR y XNOR. Todas ellas son representadas mediante un símbolo y una tabla de valores de verdad, que es simplemente un cuadro donde se ubican todas las posibles entradas y los valores que devolvería la compuerta dados dichos valores.

Todo sistema computacional, por muy complejo que sea, no está compuesto por más que circuitos electrónicos que únicamente entienden un lenguaje binario. La lógica computacional se encarga de modelar y optimizar tales sistemas a este nivel.

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INDUCCIÓN MATEMÁTICA

oct24

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N.

EJEMPLO

Demostraremos que:

1+2+3+…………+n = n(n+1), ” n perteneciente a los naturales (*)

2

1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposición (*)

2

Supongamos valida la proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que:

1+2+3+………+k = k (k+1). (Hipótesis de inducción).

2

Demostremos que k – 1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que:

1+2+3+………+k+(k+1) = (k+1)(k+2).

2

Demostración:

(1+2+3+…….+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1)

2

= k(k+1)+2(k+1)

2

= (k+1)(k+2)

2

Ejemplo:

Demuestre usando inducción que:

2 + 4+ 6 + 8+……….+ 2n = n (n+1)

n

2 i = n (n+1)

i =1

n=1

1

2*1 = 1(1+1)

i =1

= 1*2

= 2

Suponer valido para n = k

k

2i = k (k+1) Esto es la hipótesis

i =1

Demostrar para n = k+1

K+1

2i = (k+1) (k+2)

i =1

k+1 k

2i = 2i + 2(k+1)

i =1 i =1

= k (k+1) + 2(k+1)

= (k+1) (k+2)

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ÁLGEBRA DECLARATIVA

oct24

Lo que algunos llaman álgebra declarativa no es otra cosa que el álgebra proposicional, o sea, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos.

Empezaremos por definir formalmente cómo se construye una fórmula en lógica. Una expresión sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula y su definición es:

Una fórmula en lógica de proposiciones se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas:

(B) si p es una proposición lógica, es una fbf.

(R) si F es una fórmula bien formada (fbf) también lo es (¬F).

(R) si p,q son fbf entonces también lo es (p*q) donde * es uno de los operadores binarios, ^ v → ↔.

Las proposiciones p Þ q y ~ (p Ù ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:

p q p Þ q (p Ù ~ q) ~(p Ù ~ q) p Þ q  ~(p Ù ~ q)

V

V

F

F V

F

V

F V

F

V

V F

V

F

F V

F

V

...