Aritmetica Binaria

ARITMÉTICA BINARIA.

Las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir en el sistema binario se hacen de igual forma que en decimal, sin embargo, es normal que la electrónica interna de las máquinas digitales solo tenga capacidad para sumar. Otras operaciones diferentes a la suma se consiguen mediante un conjunto de sumas: La resta de dos valores se consigue sumando a uno de los valores el complemento del otro, es un truco muy ingenioso que veremos en el siguiente apartado. El producto se hace sumando a sí mismo uno de los factores, tantas veces como indique el otro factor. Su eficacia radica en la gran velocidad de cálculo de los procesadores, siendo frecuente además un coprocesador matemático dedicado solo para operaciones, lo que reduce la carga del procesador central. Por último, una división solo es una cuestión de repartir a partes iguales que se puede conseguir por aproximaciones sucesivas. A título informativo se describen a continuación los 4 tipos de operaciones básicas pero como ya se ha indicado, solo presenta interés la suma.

Ejemplo de suma binaria: En binario, la cifra más alta es el 1, por lo tanto, cuando en la suma encontramos dos unos resulta 1 + 1 = 10, entonces se deja el 0 y se arrastra el 1 para ser sumado a la izquierda. Debido al 1 de arrastre pueden juntarse tres unos, con lo que obtenemos 1 + 1 + 1 = 11 luego dejaremos un 1 y arrastramos otro 1 a la izquierda.

Ejemplo de resta binaria: Se ha puesto un ejemplo de resta en decimal como punto de referencia para restar en binario. Vea que empezando por la derecha, en cuarto lugar encontramos que de 7 a 13 van 6 y arrastramos 1 a la izquierda que se suma al 4 (quedando 5 y faltando 3 para llegar a 8). En sexto lugar encontramos que de 9 a 15 van 6 y arrastramos 1 a la izquierda que se suma al 9. Esto hace que 9 + 1 = 10, con lo que queda 0 (de 0 a 4 van 4) y se arrastra el 1 para sumarse al 1 del extremo izquierdo, con lo que de 2 a 5 van 3. En el ejemplo binario, en cuarto lugar comenzando por la derecha, encontraremos que de 1 a 10 (será 2 pasado a decimal) va 1 y se arrastra 1 a la izquierda para sumar al 0. En sexto lugar volvemos a encontrar que de 1 a 10 va 1 y se arrastra 1 a la izquierda para sumar al 1 (esto desencadena otro arrastre hasta la última posición izquierda).

Ejemplo de producto binario: La multiplicación es tan sencilla que no se necesita explicación. Si sabemos multiplicar en sistema decimal no encontraremos ningún problema para hacerlo en binario. Si el número de cifras es grande, es posible que se junten muchos unos en las sumas finales, por ejemplo 5 unos cuya suma binaria es 101, en cuyo caso queda 1, se arrastra un 0 a la izquierda (que no afecta) y se arrastra un 1 dos lugares a la izquierda.

Ejemplo de división binaria: En este ejemplo, hay que comenzar cogiendo 4 cifras del dividendo para sobrepasar al divisor. Así resulta que 1011 entre 111 toca a 1 (solo puede ser 1 o 0). 1 por 111 es 111 y falta 100 hasta llegar a 1011. Bajando la siguiente cifra (un 0) resulta que 1000 entre 111 toca a 1. Así sucesivamente.

LOS COMPLEMENTOS.

El problema que se trata de resolver es la forma de expresar números negativos en el sistema binario, valiéndonos únicamente de señales que solo pueden ser verdaderas o falsas. Es cierto que una de las señales podría representar el signo y el resto de las cifras formarían siempre un valor positivo, pero la electrónica del dispositivo sería compleja porque debería ser capaz de restar cuando encontrara el signo menos.

Parece imposible, pero los complementos permiten hacer restas mediante sumas y reducen con ello la electrónica de la máquina. ¿Cree por ejemplo que el valor 9279 es igual a -721? Si los valores (en este ejemplo) se manipulan siempre en registros de 4 cifras y todo lo que se salga desaparece, entonces es cierto y lo vamos a ver: Si hacemos la suma 721 + 9279 se obtiene el valor 10000, pero como se ha dicho, en un registro de 4 cifras solo caben los 4 ceros y el 1 se pierde. Si en el registro solo hay ceros, el resultado hay que considerarlo 0, por lo tanto 721 + 9279 = 0, lo que solo es posible si 9279 es igual a -721.

Por supuesto, se puede pensar que se trata de un truco, y lo es, pero esto es lo que funciona realmente en los dispositivos digitales: Cuando introducimos dos valores y los restamos, la máquina transforma uno de los datos de manera que resuelve la resta haciendo una suma. Las reglas de la transformación tienen que ser muy simples ya que de lo contrario no compensaría el esfuerzo y tratándose del sistema binario, realmente son muy sencillas.

El complemento a 1 de un valor binario se obtiene invirtiendo el estado de todas sus cifras, incluyendo los ceros a la izquierda hasta completar la capacidad del registro. Por ejemplo, el valor 10011 en un registro de 8 bits (cifras) será 00010011 y su complemento a 1 será 11101100.

El complemento a 2 de un valor binario se obtiene sumando 1 al complemento a 1. Por ejemplo, el complemento a 2 de 10011 (el mismo anterior) será 11101100 + 1 = 11101101.

Cómo restar sumando:

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