Curva Noinal

AREAS BAJO LA CURVA NORMAL

Conceptos preliminares:

La Distribución Normal:

Es una distribución cuyas variables aleatorias pueden tomar un número infinito de posibles valores, o cuyas diferencias entre si pueden ser infinitesimales; por lo tanto es una distribución continua, ya que sus variables pueden medirse con el grado de precisión que se desee.

Algunos ejemplos de variables continuas son las medidas de:

. Tiempo (años, meses, días, horas, minutos, segundos, etc.)

. Distancia (Km, metros, centímetros, milímetros, etc.)

. Estatura

. Peso

. Coeficiente intelectual CI (IQ)

Importancia de la Distribución Normal:

• Existen numerosas variables que parecen seguir una forma similar a la distribución normal (pesos, alturas, coeficientes intelectuales, calificaciones en exámenes, etc.)

• La distribución muestral de muchos estadígrafos muestrales como la media tienen una distribución aproximadamente normal e independiente de la configuración de la población, si los datos son suficientemente numerosos.

• Es una excelente aproximación a otras distribuciones muestrales como la de Poisson y Binomial, por ejemplo.

•

La Función Normal:

Es una curva lisa, de forma acampanada y unimodal como se presenta en la figura 1.1

Se dice que una variable x numérica de experimentación con media aritmética probabilística y desviación estándar probabilística positiva sigue una distribución normal o es una variable normal si tiene definida una función densidad de probabilidad dada por (1.2). En este caso su probabilidad rayo del tipo k está dada por (1.3).

En las fórmulas anteriores intervienen las siguientes constantes:

Aproximadamente 3.141592

Aproximadamente 2.718281

Parámetro desviación estándar probabilística de x (variables normales diferentes pueden tener distintas desviaciones estándar probabilísticas, pero para cada variable normal, su desviación estándar probabilística es constante).

Parámetro media aritmética de probabilística de x (variables normales diferentes pueden tener distinta medias aritméticas probabilísticas, pero para cada variable normal su media aritmética probabilística es constante).

Distribución Normal Estandar o Tipificada

Una variable de experimentación es estándar o tipificada si su media aritmética probabilística es cero (0) y su desviación estándar probabilística es uno (1). Si una variable de experimentación x es normal y tipificada, su función de densidad de probabilidad se denomina normal estándar o normal tipificada y se ajusta a la fórmula (1.4).

(1.4)

*Curva Normal Tipificada (lo que interesa)

Con el fín de suprimir la individualidad de cada una de las distribuciones señaladas gráficamente, se convierte a la curva normal, en un modelo matemático con características fijas y definidas y así se hace posible el cálculo de probabilidades. Este proceso se conoce con el nombre de tipificación de la curva normal. Para lo cual se supone.

a) La media o promedio de la población es cero =0

b) La desviación estándar igual a uno

c) La variable independiente x, se transforma en un valor z.

-3 -2 -1 0 1 2 3

Desviación normal estándar (Formulas de utilización)

Fórmulas de cálculo se reproducen a continuación como las fórmulas (1.5) y (1.6).

(1.5) (1.6)

Característica de la curva normal tipificada

a) Es simétrica respecto a su media (50% a la derecha y 50% a la izquierda de la media)

b) El área encerrada es 1 o 100%

c) La media, mediana y moda son iguales

Ejemplos de los casos más frecuentes del cálculo de probabilidades de intervalos.

Ejemplo:

1) En la Universidad del Oeste, la calificación promedio sobre una escala vigesimal obtenida por un estudiante elegido al azar es una variable de experimentación con media aritmética probabilística 14 y desviación estándar probabilística 2, cuya distribución de probabilidad se aproxima a la normal. Estime las probabilidades de que una calificación x escogida al azar sea: a) 13 : b)>13 ; c) 17 ; d)>17 ; e)>13 pero 17 ; f) 13 ó >17 ; g)>15 pero <=17 ; h)>10 pero <=14

Solución:

A partir de los datos: a=13; b=17; =14 y =2 se obtiene las siguientes respuestas:

a. P(x<=13) caso3

P(x<=13)=P(z<=-0.5) 0.3085

b. P(x>13)

P(x>13)=1-P(x<=13)=1.0-0.3085

P(x>13)=0.6915

c. P(x<=17) caso1

P(x<=17)=P(z<=1.5) 0.9332

d. P(x>17) caso2

P(x>17)=1-P(x<=17)=1-0.9332

P(x>17)=0.0668

e. P(13<x<=17)

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