DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD

INTRODUCCIÓN :

Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entre dos cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial. Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.

Así como existen límites unilaterales también podemos hablar de derivadas unilaterales. A continuación se dan las definiciones de derivadas por la derecha y por la izquierda de una función en un punto determinado.

La continuidad de una función en un número no implica que la función sea derivable en dicho número; por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en cero. Veamos:

En uno de los ejercicios (el número 6) resueltos que van a continuación se mostrará otro tipo de funciones que son continuas en algún número pero que no son diferenciables en el punto. Lo particular de dichas funciones es que tienen una recta vertical en dicho punto.

Resumidamente, podemos decir que una función no es diferenciable en un punto determinado por alguna de las tres razones siguientes:

1. La función es discontinua en el punto

2. La función es continua en el punto, pero por la gráfica de f no se puede trazar una recta tangente que pase por el punto (como en la gráfica de la función valor absoluto en 0)

3. La función es continua en el punto, y la gráfica tiene una recta tangente vertical que pasa por el punto.

Ejercicios resueltos

En los ejeercicios 1 a 7, haga lo siguiente: (a) trace la gráfica de la función; (b) determine si f es continua en el punto dado; (c) calcule las derivadas por la derecha y por la izquierda, si existen; (d) determine si f es diferenciable en el punto dado

S o l u c i o n e s

Solución:

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