Determinantes Regla de Cramer

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Determinantes

Regla de Cramer

Aguilar Cruz Arlethe Anali

16/04/2013

1. Indica cuáles fueron las operaciones que realizaste sobre la matriz asociada al sistema en cada uno de los pasos para resolver el problema de la evidencia de la unidad 2 por el método de Gauss-Jordan.

El problema fue el siguiente:

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una superproteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera.

El objetivo es hacer dichos microorganismos más resistentes y, en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza de dicho derrame. Durante la investigación, se presentaron muchas dificultades, ya que se tenían previstos tres proyectos diferentes, los cuales resultaron un rotundo fracaso. En cada uno de los proyectos se desarrolló una sustancia diferente, al realizar las pruebas con dichas sustancias, estas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, de esta manera, los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio.

Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y observaron los resultados, luego de ponerla en el microscopio. Esta muestra era producto de un accidente científico.

Después de esto, cada grupo hizo una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto, con el objeto de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo.

De esta manera, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que había en el contenedor.

Todos se dieron cuenta de que nadie sabía exactamente cuánto fue lo que depositó de su respectiva sustancia, pero tenían el recipiente en el que señalaron la medida.

Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y con este procedimiento encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, de esta manera, realizaron las siguientes pruebas.

1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera, obteniendo 4.5 litros de la sustancia final.

2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, obteniendo 12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se pide, supongan que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

Se tiene que el sistema de ecuaciones del problema es e siguiente:

2s1+ 2s2 + s3 = 4.5

4s1+ 6s2 + 3s3 = 12

6s1+ 9s2 + 7s3 =16.5

Se tiene que la forma matricial de la ecuación anterior es la siguiente:

2 2 1 | 4.5

4 6 3 | 12

6 9 7 | 16.5

Procedemos a reducirla mediante operaciones por renglón:

Paso 1. Hacemos que el primer renglón tenga su primer multiplicándolo por ½

2 2 1 | 4.5 ½ R1 1 1 ½ | 2.25 -R2+R1 1 0 0 | 0.75

4 6 3 | 12 -4R1+R2 0 2 1 | 3 ½ R2 0 1 ½ | 1.5

6 9 7 | 16.5 -6R1+R2 0 3 4 | 3 -3R2+R3 0 0 5/2 | -3/2

1 0 0 | 0.75

0 1 0 | 72/40

0 0 1 | -6/10

Entonces tenemos que:

X1= 0.75

X2= 72/40 = 1.8

X3= -6/10 =-0.6

Ahora procedemos a verificar que los datos sean los correctos para cada sustancia:

Con la primera sustancia:

2s1+ 2s2 + s3 = 4.5

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