ECUACIÓN DE LAPLACE

“Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria”.

UNIVERSIDAD CATÓLICA

“SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO”

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA

TEMA DE INVESTIGACIÓN

“Ecuación de Laplace”

Alumnos

INGIENERIA MECANICA ELECTRICA

CARRERA PROFESIONAL

2013-1

Ciclo

Yovanna Huertas Lluncor

Profesora

CHICLAYO- PER

En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace.

Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teórica como la astronomía, la electrostática, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica.

Para obtener la ecuación de Laplace partimos del operador laplaciano

Operador Laplaciano: Es la suma de las derivadas parciales de primer orden de la función con respecto a cada eje ya sea por lo que estemos derivando. Como puede ser volumen, densidad, etc.

Es un operador diferencial dada por la divergencia del gradiente de una función en el espacio euclidiano. El Laplaciano F de una función f en un punto p, hasta una constante que depende de la dimensión, es la velocidad a la que el valor medio de f en esferas centradas en p, se desvía de f como el radio de la esfera crece. En un sistema de coordenadas cartesianas, el laplaciano está dado por la suma de la segunda derivadas parciales de la función con respecto a cada variable independiente. En otros sistemas de coordenadas como coordenadas cilíndricas y esféricas, el Laplaciano también tiene una forma útil.

Entonces:

También se puede expresar como ∇² , porque representa las derivadas parciales de segundo orden de un término, con respecto a cada variable. Sí es un campo escalar:

Problemas relacionados con el operador laplaciano

En física, el laplaciano aparece en múltiples contextos como la teoría del potencial, la propagación de ondas, la conducción del calor, la distribución detenciones en un sólido deformable, etc. Pero de todas estas situaciones ocupa un lugar destacado en la electrostática y en la mecánica cuántica. En la electrostática, el operador laplaciano aparece en la ecuación de Laplace y en la ecuación de Poisson. Mientras que en la mecánica cuántica el laplaciano de la función de onda de una partícula da la energía cinética de la misma. En matemáticas, las funciones tales que su laplaciano se anula en un determinado dominio, se llaman funciones armónicas sobre el dominio. Estas funciones tienen una excepcional importancia en la teoría de funciones de variable compleja. Además el operador laplaciano es el ingrediente básico de la teoría de Hodge y los resultados de la cohomología de Rham.

Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas

Coordenadas cartesianas

En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionales, el laplaciano de una función f es:

En coordenadas cartesianas tridimensionales:

En coordenadas cartesianas en :

Coordenadas cilíndricas

En coordenadas cilíndricas :

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas :

Coordenadas curvilíneas ortogonales

En coordenadas ortogonales generales :

Donde son los factores de escala del sistema de coordenadas, que en general serán tres funciones dependientes de las tres coordenadas curvilíneas.

La ecuación de Laplace en dos y tres dimensiones se presenta en problemas independientes del tiempo que implican potenciales tales como el electrostático, el gravitacional y la velocidad en mecánica de fluidos. Además, una solución de la ecuación de Laplace también se puede interpretar como una distribución de temperaturas de estado estable. Como se muestra en la figura, una solución u(x,y) de la ecuación podría representar la temperatura que varía de punto a punto, pero no con el tiempo, de una placa rectangular. La ecuación de Laplace en dos dimensiones y tres dimensiones se abrevia como

Condiciones de contorno o frontera

Problema de Dirichlet

El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace consiste de hallar una solución en algún dominio tal que sobre su contorno o frontera es igual a una función determinada:

Como el operador de Laplace aparece en la ecuación del calor, una interpretación física de este problema es lo siguiente: fijar la temperatura sobre el contorno del dominio de acuerdo a una especificación determinada de la condición de contorno. La temperatura fluye hasta que alcanza un estado estacionario en el que dicha temperatura en cada punto del dominio no cambia más. La distribución de la temperatura en el interior será entonces la solución correspondiente al problema de Dirichlet.

Problema de Neumann

Las condiciones de contorno de Neumann para la ecuación de Laplace no especifica la función en sí mismo sobre el contorno , pero sí su derivada normal. Físicamente, esto corresponde a la construcción de un potencial para un campo vectorial cuyo efecto es conocido en el contorno de :

Las soluciones de la ecuación de Laplace son funciones armónicas; son todas analíticas dentro del dominio donde la ecuación se satisface. Si cualquiera de dos funciones son soluciones a la ecuación de Laplace (o de cualquier ecuación diferencial homogénea), su suma (o cualquier combinación lineal) es también una solución. Esta propiedad, llamada principio de superposición, es muy útil, por ejemplo, las soluciones de problemas complejos pueden construirse simplemente sumando las soluciones.

Ecuación de Laplace en dos dimensiones

La ecuación de Laplace en dos variables independientes:

Funciones analíticas

Las partes reales e imaginarias de una función analítica en los complejos satisfacen la ecuación de Laplace. Es decir, si , y si

Entonces la condición necesaria para que sea analítica es que se satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

Donde ux es la primera derivada parcial de u con respecto a x.

...