ESTRUCTURA DE CUERPO

INTRODUCCION

En álgebra abstracta, un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo, los cuales permiten efectuar la operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.

Los cuerpos son objetos importantes de estudio en álgebra puesto que proporcionan la generalización apropiada de dominios de números tales como los conjuntos de números racionales, de los números reales, o de los números complejos. Los cuerpos eran llamados dominios racionales.

El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matrices, dos objetos en el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. La teoría de Galois estudia las relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de sus raíces y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de cuerpos correspondientes.

CUERPO

Definición

Un cuerpo es un anillo de división conmutativo, es decir, un anillo conmutativo y unitario en el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto del producto. Por tanto un cuerpo es un conjunto K en el que se han definido dos operaciones, + y •, llamadas suma y multiplicación respectivamente, que cumplen las siguientes propiedades:

K es cerrado para la suma y la multiplicación

Para todo a, b en K, a + b y a * b pertenecen a K (o más formalmente, + y * son operaciones matemáticas en K);

Asociatividad de la suma y la multiplicación

Para toda a, b, c en K, a + (b + c) = (a + b) + c y a * (b * c) = (a * b) * c.

Conmutatividad de la suma y la multiplicación

Para toda a, b en K, a + b = b + a y a * b = b * a.

Existencia de un elemento neutro para la suma y la multiplicación

Existe un elemento 0 en K, tal que para todo a en K, a + 0 = a.

Existe un elemento 1 en K diferente a 0, tal que para todo a en K, a * 1 = a.

y de inversos:

Para cada a en K, existe un elemento -a en K, tal que a + (- a) = 0.

Para cada a ≠ 0 en K, existe un elemento a -1 en K, tal que a * a-1 = 1.

Distributividad de la multiplicación respecto de la suma

Para toda a, b, c, en K, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).

El requisito a ≠ 0 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existan divisores de cero distintos de 0, lo que lo convierte también en un dominio de integridad. Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (K, +) y (K - { 0 }, *) son grupos conmutativos y que por lo tanto (véase la teoría de grupos) el opuesto -a y el inverso a-1 son determinados únicamente por a. Además, el inverso de un producto es igual al producto de los inversos:

(a*b)-1 = a-1 * b-1

con tal que a y b sean diferentes de cero. Otras reglas útiles incluyen

-a = (-1) * a

y más generalmente

- (a * b) = (-a) * b = a * (-b)

así como

a * 0 = 0,

todas reglas familiares de la aritmética elemental.

Ejemplo

1) (IR,+,.), (Q,+,.), (Cl ,+,.) son cuerpos (conmutativos).

2) ZZ 5 es cuerpo, pero ZZ 6 no lo es.

Propiedad

1) Un cuerpo no posee divisores de cero.

2) Todo dominio de integridad finito es un cuerpo.

3) Los ´únicos ideales de un cuerpo K son 0 y K

4) En todo cuerpo K son válidas las reglas del cálculo con fracciones con denominadores

no nulos.

Ejemplo

(El cuerpo de fracciones de un dominio de integridad) (En este ejercicio se

muestra un procedimiento para construir un cuerpo a partir de un dominio de integridad, de la misma forma a como se construye el cuerpo de los números racionales a partir de los números enteros).

Sea (A,+,.) un dominio de integridad. En el conjunto A x A* definimos dos operaciones + y . mediante

(a,b)+(c,d) = (a..d+b.c,b.d)

(a,b).(c,d) = (a.c,b.d)

1) Probar que A × A* es anillo unitario conmutativo.

Se define ahora la relación binaria R en A x A* mediante:

(a,b) R (a’,b’) ⇐⇒ a.b’ = a’.b

2) Probar que R es compatible con + y . de A × A*

3) Construir el conjunto cociente A × A*/R que denotaremos por K.

Se definen en K otras operaciones + y . mediante:

[(a,b)] + [(c,d)] = [(a d + b c, b d)]

[(a,b)] . [(c,d)] = [(a c, b d)]

4) Probar que (K,+,.) es un cuerpo conmutativo.

Sea i:(A,+,.) −→ (K,+,.), a −→ i(a) = [(a,1)]

5) Probar que i es un homomorfismo de anillos inyecctivo.

6) Probar que cualquier otro cuerpo K’ para el que se pueda encontrar otro monomorfismo

m:A −→ K’ contiene a K.

DIVISIBILIDAD DE UN CUERPO

Definición.

– Sea A un dominio de integridad.

1. Sean a, b 2 A, con a 6= 0. Se dirá que a divide a b, o que a es un divisor de b si existe c 2 A tal que b = ac. Este elemento c es ´único por ser A un dominio de integridad, y se le designar’ a por b/a. También se dirá, en este caso, que b es divisible por a. Se escribir’ a a|b para designar esta relación. Es evidente que una unidad divide a cualquier otro elemento de A.

2. Se dirá que a y b, con a, b 6= 0, son asociados si y solo si a|b y b|a. En este caso se puede escribir b = ac y a = bc0, luego a = acc0, de donde a(1 − cc0) = 0, y as´ı cc0 = 1. De aquí se ve ya fácilmente que a, b son asociados si y solo si uno de ellos es igual al otro multiplicado por una

unidad.

3. Sean a, b 2 A distintos de cero. Un máximo común divisor de a y b es un elemento d 2 A que verifica:

(a) d|a y d|b.

(b) Si d0 2 A es tal que d0|a y d0|b, entonces d0|d.

De lo anterior se deduce que, si d, d0 son dos m´aximos comunes divisores

de a, b, entonces d|d0 y d0|d, luego son asociados. Así pues, el máximo

com´un divisor de a, b esta unívocamente determinado, salvo producto por

unidades, y se escribe m.c.d.(a, b).

4. Sean a, b 2 A, distintos de cero. Un mínimo común múltiplo de a y b es

un elemento m 2 A que verifica:

(a) a|m y b|m.

(b) Si m0 2 A es tal que a|m0 y b|m0, entonces m|m0.

De lo anterior se deduce que, si m,m0 son dos mínimos comunes múltiplos de a, b, entonces m|m0 y m0|m,

...